Mi történik, ha a végtelent megszorzom nullával?

Ahogy írták a végtelen nem egy szám, nem úgy viselkedik, mint egy szám. A végtelen inkább egy jelleg.

A végtelen alapvetően két helyen fordul elő a matematikában, a halmazelméletben és a határérték számításban is, de mindkét esetben a végtelen pontosan azt fejezi ki, hogy „bármely véges értéknél nagyobb”. Sokan úgy képzelik el a végtelent, mint valami irdatlan nagy számot. Hibásan. A végtelen nem egy nagy szám, hanem bármilyen elképzelhetetlenül nagy számnál is több.

Halmazelméletben a dolog viszonylag egyszerűbb. Egy halmaznak van számossága, ami véges halmazok esetén egy konkrét természetes szám, végtelen halmaz esetén viszont több különböző végtelen létezik. Két halmaz között lehet értelmezni a szorzás műveletét. Pl. az angol ábécé betűi egy véges halmazt jelentenek, aminek a számossága 26. A számjegyekből képzett halmaz is egy véges halmazt jelent, aminek a számossága 10. A két halmaz (Descartes-)szorzata a két halmaz elemeiből képezhető összes párt magába foglaló halmazt jelenti. Az angol ábécé és a számjegyek halmaza esetén: {A0, A1, A2, …, A8, A9, B0, B1, …, B8, B9, …, …, Z0, Z1, …, Z8, Z9}. Ennek a halmaznak a számossága a két összeszorzott halmaz számosságával egyenlő, tehát itt egy 26*10=260 elemű halmazról van szó.

A nullával való szorzás ilyen értelemben egy 0 elemű halmaznak egy másik halmazzal való Descartes-szorzatát jelenti. Mivel a halmaz üres, nincsenek elemei, így 0 darab párt lehet belőlük képezni. Halmazelméletnél tehát 0*∞ = 0. (Ha van végtelen számú jobbkezes kesztyűd, és 0 darab balkezes kesztyűd, abból 0 darab kesztyűpár képezhető.)

~ ~ ~

Határérték számítás esetén kicsit más a helyzet. Lehet egy határérték is végtelen. Ha összeadod az összes páros számot, akkor az eredmény végtelen lesz… Illetve nem. Nem tudod összeadni őket. Mert hogy is zajlik ez? Fogod a 2-est, ehhez hozzáadod a 4-et, az már 6. Ehhez hozzáadod a 6-ot, az már 12. Ehhez hozzáadod a 8-at, az már 20. Ehhez hozzáadod a 10-et, az már 30. Mikor kapod meg a végeredményt? Ha az utolsó páros számot is hozzáadtad az addigi részeredményhez. Csakhogy nincs utolsó páros szám, mert a páros számok sora végtelen. Így az összeadást nem lehet elvégezni, nem mondhatod azt, hogy „kész, végeztem”.

A határérték számítás igazából azt mondja, hogy ahogy tart az összeadott páros számok száma a végtelen felé, úgy tart az összeg is a végtelen felé. Ha mondasz egy véges eredményt, akkor tudok véges számú páros számot mondani, aminek az összege ennél nagyobb lesz:

- Azt mondod, hogy 100? Az első 15 darab páros szám összege ennél nagyobb.

- Azt mondod, hogy 1000? Az első 46 darab páros szám összege ennél nagyobb.

- Azt mondod, hogy millió? Az első 1415 darab páros szám összege ennél nagyobb.

- Azt mondod, hogy milliárd? Az első 44722 darab páros szám összege ennél nagyobb.

Na itt viszont van, hogy egy kifejezés határértéke nulla. Egy másik kifejezés határértéke meg végtelen. Hogy mennyi a kettő szorzata? A válasz: attól függ…

Pl. ahogy tart x a végtelen felé, úgy az 1/x tart a nulla felé. Viszont az x meg tart a végtelen felé. Matematikai megfogalmazásban:

lim{x→∞} 1/x = 0

lim{x→∞} x = ∞

A kettő szorzata:

( lim{x→∞} 1/x ) * ( lim{x→∞} x ) =

= lim{x→∞} (1/x)*x =

= lim{x→∞} x/x =

= lim{x→∞} 1 = 1

Tehát itt pongyola nyelven megfogalmazva az jön ki, hogy 0*∞ = 1

De:

lim{x→∞} 1/x = 0

lim{x→∞} 3x = ∞

A kettő szorzata:

lim{x→∞} 3x/x = 3

Tehát 0*∞=3

Viszont:

lim{x→∞} 1/x² = 0

lim{x→∞} x = ∞

A kettő szorzata:

lim{x→∞} x/x² = lim{x→∞} 1/x = 0

Tehát 0*∞=0

Viszont:

lim{x→∞} 1/x = 0

lim{x→∞} x² = ∞

A kettő szorzata:

lim{x→∞} x²/x = lim{x→∞} x = ∞

Tehát 0*∞=∞

Sőt:

lim{x→∞} -1/x = 0

lim{x→∞} x² = ∞

A kettő szorzata:

lim{x→∞} -x²/x = lim{x→∞} -x = -∞

Tehát 0*∞=-∞

Röviden: Határérték számításnál általánosságban a 0*∞ az egy nem meghatározható érték. Adott konkrét esetben lehet ez akár végtelen, más esetben mínusz végtelen, megint más esetben lehet nulla, megint más eseteben meg lehet bármilyen pozitív vagy negatív véges valós szám is.

Sok jószándékú kísérlet egy nem létező dolog megmagyarázására.

Mi történik, ha egy halott férfi és egy halott nő szexelnek? Válasz: semmi. Nem tesznek ilyent. Értelmetlen.

Mi történik, ha a végtelent szorzom nullával? Válasz: semmi. Nem végezhető el.

A nulla egy speciális, mesterséges szám, a kivonás elvégezhetősége miatt lett bevezetve. Van jelentése és számos tulajdonsága. Ezek azért ilyenek, mert így ellentmondásmentes e fogalom bevezetése. E tulajdonságok között szerepel, hogy a vele való szorzás önmaga. Eddig érthető, egy kezelhető fogalomról volt szó.

A végtelen egy absztrakció. A valóságban nem megfogható. Mégis szükség van rá, mert segítségével sok minden (nemcsak a matematikában) könnyen magyarázható. A végtelen nem szám, hanem egy határérték. Azaz valami olyasmi, ha egy sorozatot veszünk, akkor minden esetben képesek legyünk azt jellemezni, kezelni. Ha nem vezetnénk be ezt a fogalmat, arra a kérdésre, hogy mennyi az összes pozitív szám összege, csak a vállunkat vonogatnánk. Már azt se tudnánk megmondani, mi az hogy összes.

A végtelennek is vannak tulajdonságai, de sokféle dologra használható e fogalom, ezért egyes tulajdonságai csak akkor értelmesek, ha éppen a megfelelő dologra használjuk. Mégis, hogy mindennél nagyobb, elég jól jellemzi. Ez azt jelent, ha te mondasz egy számot, én mindig tudok olyant, ami annál nagyobb. Itt a hangsúly azon van, hogy mindig!

A végtelen a matematikában igen hasznos és a világ sok jelenségét képesek vagyunk vele világosan, frappánsan és röviden megválaszolni.

De egyet nem tudunk! számolni vele. Számolni számokkal lehet, mivel a végtelen nem szám, így értelmetlen a mennyi végtelen meg végtelen kérdés. Akkor is az, ha látszólag könnyű a válasz: végtelen.

Miért kell ezt mondanunk? Mert aki megtanulta é megértette a végtelen fogalmát, helyesen használja. Nem képzel bele olyant, ami nem tartozik oda. Akinek viszont nincs erről megfelelő tapasztalata, nem képes másból kiindulni, mint a saját tapasztalatából. Ésaz nem mondja meg neki, tehát mások ez irányú kísérleteit félre fogja érteni.

NAGYON FONTOS! Ez nem jelenti azt, hogy a kérdező buta. Azt sem jelenti, hogy a magyarázó nm tud magyarázni. Azt jelenti, hogy nem adottak a feltételek a megértéshez, mert ez annál bonyolultabb. A feltételek egy iskolában lehetnek adottak. Egy baráti beszélgetésnél is. Ahol lehet visszakérdezni. Itt erre nem adottak. Sok mindenre igen, erre nem.

Sajnálom, nem kiábrándítani akartam senkit. Csak ez helyzet. Tehát csak az mondható a kérdésre: nem történik semmi, a művelet elvégezhetetlen, mert a végtelen nem szám, hanem egy absztrakció.