Mi történik, ha a végtelent megszorzom nullával?

Ne a végtelent szorozd meg nullával, hanem a nullát végtelennel.

Gondolj bele így: kétszer nulla is nulla, huszonkétszer nulla is nulla, akárhányszor nulla is csak nulla marad -> tehát végtelenszer is.

Nincsen olyan szám, hogy végtelen. Ha egyszerűen úgy kezeled, hogy a végtelen az egy egyszerű szám, akkor rengeteg ellentmondást lehet csinálni. Pl:

1+2+3+4+...=végtelen

2+3+4+5+...=végtelen

HA a kettő különbségét veszed, akkor 2 és minden nagyobb szám kiesik, marad az az egyes különbségként:

végtelen-végtelen=1

Vagy -1, vagy 0, vagy 4, vagy 86763, vagy akármennyi, ha megkonstruálod a megfelelő sorozatokat, amiket kivonsz egymásból.

De speciel ha a nullával szorzod, az nem vezet ellentmondáshoz, nulla lesz a vége. Behelyettesíthetsz akármilyen végtelent, ha nullával megszorzod akkor akkor is nulla marad ha megszakadsz. Szóval ez speciel megválaszolható. De általánosságban a végtelennel végzett műveletek értelmetlenek, könnyedén ellentmondásokhoz vezet a dolog. A végtelen nem egy szám, hanem egy szimbólum, és így csak óvatosan szabad vele műveleteket végezni.

"Bármilyen számot szorzok nullával, az eredmény nulla lesz."

Itt a hangsúly a SZÁM-on van; a végtelen nem szám, tehát a fenti megállapítás nem lesz rá igaz (feltétlenül).

"Bármilyen számot szorzok végtelennel, az eredmény végtelen lesz."

Ez pedig ilyen formában nem igaz; ha úgy lenne, hogy bármilyen POZITÍV számot, akkor már jó lenne (ha negatívot szorzol, akkor -végtelen lesz belőle).

Több irányba el lehet indulni;

-egyrészt geometriából tudjuk, hogy bármilyen szakasz végtelen sok pontot tartalmaz, a pont hossza pedig 0, így (a tanultak szerint) a szakasz hossza 0*végtelen lesz, erről meg azért tudjuk, hogy bármennyi (nemnegatív) lehet a hossza (mert az 5cm-es és az 5km-es szakasz is ugyanannyi -végtelen (ráadásul megszámlálhatatlanul végtelen) sok- pontot tartalmaz).

-másrészt a végtelen -mint írtam- nem egy szám. Ha ezt elfogadjuk, akkor a szorzás, mint művelet nem értelmezhető rajta.

-harmadrészt, aki már tanult határérték-számítást, az könnyen beláthatja, hogy ha definiálható is maga a művelet, bármennyi lehet az értéke. Például vegyük a

lim x*(1/x)

x->végtelen

határértéket; x "értéke" végtelen, az 1/x-é pedig 0, így hát végtelen*0 az értéke, viszont ha elvégzezzük a fenti szorzást, akkor 1-et kapunk, tehát a szorzat értéke 1 lesz. Ha viszont a

lim x*(2/x)

x->végtelen

határértéket vesszük, akkor ugyanaz lesz a felállás, annyi különbséggel, hogy a határérték már 2 lesz. Ugyanezzel az elgondolással gyakorlatilag bármennyi lehet az értéke, csak a 2 helyére egy másik számot kell írni.

A lényeg: vagy nem értelmezhető, vagy gyakorlatilag bármennyi lehet az értéke (és ezért nem értelmezhető).

"teljesen lényegtelen, hogy a nullát szorzom a végtelennel, vagy éppen fordítva. Az eredményen ez nem változtat"

Az eredményen nem, de a másik irányból megközelítve jobban megfogható, hogy a nullát veszed-e végtelenszer, vagy a végtelent nullaszor - ezért írtam így.

Itt az a helyzet, hogy NEM konkrét végtelenről vagy nulláról van szó.

Ha mégis, azzal NEM LEHET számolni.

Viszont a való életben valami csak tart a végtelen, vagy a nulla felé. Így az eredmény attól függ, hogy milyen gyorsan tartanak.

Például vegyük azt, hogy az 1/x függvény alatti terület vajon mennyi lesz?

Induljunk el mondjuk 1-től, és nézzük meg, szakaszonként.

Ahogy megyünk a végtelen felé, egyre kisebb területeket kell összeadni - de ez csak a végtelenben lesz nulla.

Tehát pont az áll elő, amit kérdeztél.

Konkrétan az 1/x-nél úgy tudom, hogy végtelen lesz az eredmény, de létezik másfajta függvény, ahol szintén csak a végtelenben lesz nulla a függvény, és mégsem végtelen az eredmény.