Ha van pl. egy ilyen: 2 (3+x) (3-x) Akkot úgy csinálom, hogy kettővel megszorzom az első zárójeles kifejetzést, és azt pedig a másodikkal, vagy előbb összeszorzom a zárójeleseket, és végül a kapott eredményt 2vel?

Mivel a szorzás kommutatív, így teljesen mindegy milyen sorrendben végzed el a szorzásokat. Haladhatsz sorban is, de az is jó, ha előbb a zárójeleseket szorzod össze.

Egyébként egy négyzetkülönbséged van, ami egy nevezetes azonosság.

(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

Tehát 2*(3^2 - x^2) = 18 - 2*x^2

Egy dolgot hadd szögezzek le az elején, amit ha jól megjegyzel, akkor hasznodra lesz: A matematika nem dobálózás holmi számokkal, betűkkel, műveleti jelekkel, hanem valódi, tényleges jelentése van az egyes műveleteknek. Ha végigrágod az általam írtakat egészen addig, míg olyan szinten nem érted meg, hogy „ez magától érthetődő”, akkor az ilyen szemlélet a későbbiekben is nagy hasznodra lehet. Próbáld mindig megtalálni, hogy mit jelent az, amit csinálsz, és akkor is meglátod az összefüggéseket, ha történetesen soha nem tanultad meg.

A szorzásnál az egyes szorzandók felcserélhetők tetszőlegesen. Egy 2 cm magas és 3 cm széles téglalap esetén teljesen mindegy, hogy 2*3 vagy 3*2-ről van szó, ugyanúgy 6 lesz az eredmény. Az, hogy most nem számokat szorzunk össze, hanem komplett kifejezéseket, az lényegtelen (3+x)*(3-x) egyenlő lesz (3-x)*(3+x)-el. Ez az egyik, amit a szorzás esetén érdemes megérteni.

A másik az összeg szorzása valamivel 5*(3+4) ugye egy olyan téglalap, aminek az egyik oldala 5, a másiké, meg 3+4, azaz 7 cm. De a két résztéglalap összege is ugyanazt a nagy téglalapot fogja kiadni, azaz 5*3+5*4 is ugyanazt a nagy téglalapot jelenti. Itt megint mindegy, hogy most 5 helyére egy komplett kifejezést írok, zárójelekkel, mindenféle dolgokkal, vagy csak egy szám szerepel ott.

Tehát 2*(3+x) egy olyan nagy téglalap, aminek 2 egység az egyik oldala, a másik meg 3 egység, meg még valami ismeretlen hossz. Ez ugyan, mintha a 2*3 részhez adnád hozzá a 2*x-et. ( [link] )

Tehát a (3+x)(3-x) esetén sem jövünk zavarba, hiszen egyszerűen csak a fenti logika alapján szépen elvégezzük az egyik zárójellel a dolgot:

(3+x)(3-x) = (3+x)3 - (3+x)x

Majd mindegyiket külön-külön:

9+3x - (3x+x²) = 9 + 3x - 3x - x² = 9 + 0 - x² = 9-x²

Ezt most csak meg kell szorozni kettővel, és máris kijön, hogy

2(3+x)(3-x) = 2(9-x²) = 18 - 2x²

(Egyébként ha (a+b)(c+d) formát látsz, ott ac+ad+bc+bd formára fog kijönni a dolog. Ezt hasonlóan fel lehet rajzolni téglalapokkal, ahol az egyik nagy téglalapnak (a+b) az oldala, a másiké (c+d). Innen egészen érthető lesz, hogy miért kell mindegyik oldal minden tagját a másik oldal minden tagjával összeszorozni. Ennek a lerajzolását rád bízom. Érdemes lerajzolni, mert könnyebben megjegyzed egy örök életre a dolgot.)

A kivonás sem kell, hogy megzavarjon. Téglalapokkal megint csak lehetne az egészet szemléltetni. De egyszerűen csak negatív szám hozzáadásaként kell értelmezni, és ugyanúgy leírni. 5(3-2) = 5[3+(-2)] = 5*3 + 5*(-2) = 5*3 - 5*2

Az (a+b)(a-b)-t egyébként ezzel a szemlélettel könnyű általánosítani, érdemes is külön megjegyezni, mert gyakran elő fog fordulni.

(a+b)(a-b) = a(a-b) + b(a-b) = a²-ab + ab-b²

Itt ugye hozzá is adunk ab-t, el is veszünk belőle, tehát olyan, mintha nem csináltunk volna vele semmit, így a² + (-ab+ab) -b² = a² + 0 -b² = a² - b²

Azért biztos, ami biztos, továbbra is két részletben végzem el lentebb az (a+b)(c+d) szorzásokat.

~~~~~~~~~~~~~

Most nézzük meg, mit kapunk, ha más sorrendben végezzük el:

2(3+x) = 6+2x

2(3+x)(3-x) = (6+2x)(3-x) = 3(6+2x) - x(6+2x) = 18 + 6x - (6x + 2x²) = 18 + 6x - 6x - 2x² = 18 + 0 - 2x² = 18 - 2x²

~~~~~~~~~~~~~

Sőt a szorzás felcserélhetősége miatt akár az első és harmadik összeszorzásával is kezdheted.

2(3+x)(3-x) = 2(3-x)(3+x)

2(3-x) = 6-2x

2(3+x)(3-x) = 2(3-x)(3+x) = (6-2x)(3+x) = 3(6-2x) + x(6-2x) = 18-6x + 6x-2x² = 18 + 0 - 2x² = 18-x²

Akármilyen sorrendben végzem el a szorzásokat, mindig ugyanannyit fogok kapni. Hiszen végül is egy olyan téglatest térfogataként értelmezhető az egész, aminek az egyik oldala 2 egység, a másiké valamennyivel több, mint 3 egység, míg a harmadik ugyanennyivel rövidebb 3 egységnél. Mindegy, hogy most áll, fekszik a téglatest, a térfogata attól ugyanannyi lesz.