Hatarozd meg a ket vektor skalaris szorzatát hajlásszögét ha a, (3;1) és b (2;-1)?

a*b = ax*bx + ay*by = 3*2 + 1*(–1) = 6 – 1 = 5.

A skaláris szorzat másik definíciója alapján

a*b = |a| * |b| * cos(γ),

ebből a bal oldalt az előbb számoltuk ki,

|a| = gyök(ax^2 + ay^2) = gyök(3^2 + 1^2) = gyök(10),

|b| = gyök(bx^2 + by^2) = gyök(2^2 + (–1)^2) = gyök(5),

tehát

cos(γ) = a*b/(|a| * |b|) = 5/gyök(10*5) = 1/gyök(2),

így γ = π/4, mivel két vektor bezárt szöge alatt általában a [0, π] intervallumba eső szöget értünk.

Nézd meg ezt a videót:

https://www.youtube.com/watch?v=qsR2pj-A3VM

Másik megoldás;

Kimondatlanul is, a két vektor közös kezdőpontja az origó (O(0;0) pont), ebből a pontból indulnak ki a vektorok, és mutatnak az A(3;1) és B(2;-1) pontokban. Azt már általános iskolában megtanultuk, hogy ha három pont nem esik egy egyenesre, akkor háromszöget határoznak meg.

Azt már biztosan tanultátok, hogy ha egy szakaszt két végpontjával határozzuk meg, akkor hogyan számolhatóak ki az oldalai. Aszerint:

|OA| = gyök( (0-3)^2 + (0-1)^2 ) = gyök(10)

|OB| = gyök( (0-2)^2 + (0-(-1))^2 ) = gyök(5)

|AB| = gyök( (3-2)^2 + (1-(-1))^2 ) = gyök(5)

Látható, hogy ez egy egyenlő szárú háromszög, amelynek szögei egyszerűbb módon is kiszámolhaóak, ehhez csak be kell húzni az alaphoz tartozó magasságot, azzal képződik egy derékszögű háromszög, és abban a szögek definíció szerint koszinuszát fel lehet írni. Ami még érdekesebb, hogy ránézésre látható a Pitagorasz-tétel teljesülése, vagyis gyök(5)^2 + gyök(5)^2 = gyök(10)^2, vagyis 5+5=10, tehát egy derékszögű háromszögről beszélünk, ráadásul egyenlő szárúról is, így a hegyesszögei 45°-osak, és a két vektor hajlásszöge pont ennyi.

Viszont ha nem tudunk így trükközni (általában ez nem megy, ugye), de ismerjük az összes oldalt, akkor egyszerűen fel lehet írni egy kosziniusztételt; az AB oldallal szemközti szög a kérdés (ez legyen y), ekkor:

gyök(5)^2 = gyök(5)^2 + gyök(10)^2 - 2*gyök(5)*gyök(10)*cos(y), ebből rendezés után 1/gyök(2) = cos(y) adódik, erre pedig 60°-ot kapunk eredményül. Ha radiánban kérik, akkor meg pi/3.