MATEMATIKA! Egy hintó első kerekének kerülete 250 cm, a hátsóé 3m. Hány méter távolágon tesz meg többet az első kerék 100 fordulattal többet, mint a hátsó?

3m = 300cm = 30 dm, 250 cm = 25 dm

Először nézzük meg, hogy hány dm után fog mindkét kerék egész fordulatot megtenni. Írjuk fel külön-külön:

kis kerék: 25 dm, 50 dm, 75 dm, 100 dm, 125 dm, 150 dm, 175 dm, ...

nagy kerék: 30 dm, 60 dm, 90 dm, 120 dm, 150 dm, 180 dm, 210 dm ...

Látható, hogy mindkét sorban a 180 dm látható, tehát 180 dm múlva fog mindkettő egészet fordulni; a kisebbik 6-szor, a nagyobbik 5-ször. Ez azt jelenti, hogy 180 dm-ként a kisebbik kerék 1-gyel többet fordul. Innen már nem nehéz rájönni, hogy mindennek 100-szor kell beteljesülnie, hogy a kisebbik kerék 100-zal többet forduljon, mint a nagy, tehát 180*100=18.000 dm=1,8 km múlva fog megtörténni.

Most szerencsénk volt, mert kevés számolásból jött ki a két kerékre a közös táv. Más számok esetén van sokkal gyorsabb számítási mód, akkor a két szám legkisebb közös többszörösét kell megkeresnünk a számok prímtényezőinek felhasználásával.

Apró javítás a 19:43-as válaszhoz: 150 dm az első közös érték a két sorozatban.

Másrészt bármilyen kerékkerületek esetén van értelme a kérdésnek, és létezik rá a válasz is, legfeljebb nem egész jön ki. Legyen az egyik kerék kerülete a, a másiké b > a (egyenlőség esetén nyilván soha*), keressük, hogy mekkora d távon tesz meg a b kerületű kerék n fordulattal többet, mint az a kerületű (az n se kell feltétlen egész legyen).

Amíg a nagyobbik kerék 1-et fordul, addig a kisebbik b/a-t, azaz b/a – 1 fordulattal többet. Hogy n fordulattal többet forduljon a kicsi, ahhoz a nagyobbiknak éppen n/(b/a – 1) fordulatot kell megtennie, ezalatt a kocsi b-szer ekkora utat tesz meg, azaz

d = b*n/(b/a – 1) = a*b*n/(b – a) = (2,5 m)*(3 m)*100/(3 m – 2,5 m) = 1500 m.

Szóval kevésbé paraméteresen, amíg a hátsó kerék 1-et fordul, addig az első 300/250 = 1,2-szer többet, ez fordulatonként 0,2 fordulatnyi különbség, ami a hátsó kerék 100/0,2 = 500 fordulata során halmozódik 100 fordulat különbséggé. Ez távban 500*3 m = 1500 m.

(Vegyük még észre, hogy a paraméteres és a konkrét megoldás lényegében ugyanolyan hosszú, csak a betűk jelentését tartott sokáig elmagyarázni, amik szerepelhettek volna a feladatban is.)

Feladat a kérdezőnek, hogy érti-e: legyen a hátsó kerék SUGARA 1 m, az első kerék kerülete gyök(2) m. Egészre kerekítve hány méter távolságon tesz meg az első kerék 542,69 fordulattal többet, mint az első?

*Illetve természetesen kanyarban másmekkora utat tesznek meg a kerekek, a hátsó általában kevesebbet, de természetesen a feladat megoldói egyenesen haladó hintóra gondolnak.

x: fordulat ,y: a távolság

I. 3*x=y

II. 2,5*(x+100) =y

II. 2,5x+250=y

I.+ből y=3x II. be

I. 2,5x+250=3x /-2,5x

250=0,5X -> x=500 fordulat.

Tehát: II.ből 3x=y -> 3*500=y=1500.

1500m a megoldás

kicsi kerék 600 fordulat 2,5m *600ford=1500m

Nagy : 3m *500 ford=1500m