SOS, rezgőmozgások újra? (Ugyanaz a 11. es vagyok, mint legutóbb. :D)

Általános esetben számítana, hogy honnan indul, és egy fokkal összetettebb lenne a feladat, de most ugye pont két amplitúdónyi út megtétele a kérdés, ami egyszerűen egy fél periódus idő alatt történik meg (képzeld magad elé a kitérés idő grafikon, 0-ból 0-ba vagy A-ból –A-ba is T/2 idő alatt jut el, ami pont 2*A út megtételét jelenti, köztes esetekben pedig, ha arrébb tolod a kiválasztott időintervallumot, akkor a végén pont annyit nyersz, mint az elején veszítesz, az A*sin(ω*t + φ) függvény periodicitása és szimmetriái miatt).

Szóval Δt = T/2 = 2π/ω/2 = π/ω = … (Tessék helyettesíteni!)

> „0.12=0.06×sin(628×t) az lehetetlen?”

Igen, mivel a sin(valami) nem lehet nagyobb 1-nél, tehát ennek a egyenletnek a jobb oldala legfeljebb 0.06, még a baloldala 0.12.

A te egyenleted rossz. Már ha elkezded megoldani, abból is látni fogod, hiszen az első rendezési művelet után az fog kijönni, hogy 2 = sin(628t). (A sinus értéke nem lehet 1-nél nagyobb.

És azért rossz, mert az y=Asin(omega x t) egyenletben az "y" az nem a megtett út, hanem a test pillanatnyi helyzete.

Amikor tehát te az ominózus egyenletet felírtad, hogy megoldd t-re, akkor tulajdonképpen arra a kérdésre kerested a választ, hogy a 0.06 m amplitúdóval rezgő test mikor lesz a középponttól 0.12 m távolságban. (Nyilván soha.)

Ha érted a 20:25-ös választ, akkor az általános eset se nehéz*, csak macerás, mert a sebesség előjelet tud váltani.

Mint már említettem, itt számít a kezdőfázis is, szóval legyen a fázis a t = 0 időpillanatban φ, és az a kérdés, hogy mekkora mi az a ts > 0 időpont, amíg pont s utat tesz meg a test. A kitérés–idő-függvény

x(t) = A*sin(ω*t + φ).

Ha van olyan n nem negatív egész szám, hogy s = 2*A*n (azaz s az amplitúdó kétszeresének egész számú többszöröse), akkor a válasz egyszerűen ts = n*T/2 = n*π/ω, ahol T = 2π/ω a periódusidő.

Ha nincs ilyen szerencsénk, akkor megkereshetjük azt a legnagyobb n-et, amire 2*A*n < s. Amíg megteszi a test a 2*A*n utat, addig tn = n*π/ω idő telik el, és még s' = s – 2*A*n utat kéne megtenni a testnek. Szóval már csak az a kérdés, hogy ezt az s' < 2*A*n utat mennyi idő alatt teszi meg. Arra kell figyelni, hogy ha n páros, akkor ezt az s' utat szintén egy φ' = φ fázisú helyről indulva teszi meg, viszont ha az n páratlan, akkor φ' = –φ lesz. Így lett egy egyszerűbb problémánk, hogy mekkora t' idő alatt tesz meg a test egy 0 < s' < 2*A*n utat φ' fázisból indulva.

De még ilyenkor is kell csinálni egy esetszétbontást a szerint, hogy a test következő maximumkitéréséig hátralevő út nagyobb-e, mint s'. Ha nagyobb, akkor már nem fog többször megfordulni, és a t'-t a

A*sin(φ') ± s' = A*sin(ω*t' + φ')

egyenlet megoldásaként kapjuk, ahol a +-t vagy –-t aszerint kell választani, hogy merre haladt a test a tn időpontban† (ha pozitív irányban, akkor + lesz, különben meg a másik, ha pedig állt, akkor pedig értelemszerűen +, ha sin(φ') = –1; és –, ha sin(φ') = 1). Ilyenkor a végeredmény ts = tn + t'.

Ha viszont a következő maximumkitérésig hátralevő út kisebb, mint s', akkor meg kell néznünk, hogy mekkora is ez, ugye š = A*(1 – sin(φ')) lesz, ha pozitív irányban haladt, és š = A*(1 + sin(φ'))‡, ha negatív irányban. Az š út megtételéhez szükséges ť időre

± A ± A*sin(φ') = A*sin(ω*ť + φ')

teljesül (a ±-t pedig már nem bogarászom ki).

A maradék s" = s' – š utat pedig annyi t" idő alatt teszi meg, amire

/*ez legyen házi feladat*/

A végeredmény ebben az esetben ts = tn + ť + t".

*Azaz nem kell integrálni, hanem elég tudni az arcsin függvényt.

†Ugye ezt a cos(φ') előjele dönti el.

‡ Hű, basszus, késő van, itt kezdek belezavarodni.

#9 Szép megoldás. Hadd tegyek fel egy gondolkodtató kérdést neked. (Bár a kérdező is gondolkodhat rajta)

Legyen adva egy általános harmonikus rezgőmozgás. A mozgás során két pontot tekintünk, amelyeken a test valamikor 0 és T/4 közötti időpontokban halad át.

Az első pontnak ismert a pozíciója y(t1)=y1, ahol 0<t1<T/4 és a második pontban ismert a sebesség v(t2)=v2, ahol 0<t2<T/4. Továbbá adott a két pont közötti távolság, legyen ez p, amelyre 0<p<A teljesül.

Mennyi a két pont közt eltelt idő?

Léteznek -e olyan y1(p) és v2(p) párok, amelyek nem kompatibilisek egymással? Ha igen, miért, és hogyan lehetne ezeket meghatározni?

Jó számolgatást hozzá!