Mekkora sebességgel kellene kilőni egy golyót a Föld2 közepéből, hogy elérje a felszínt?

A helyzeti energia ebben az esetben

G*M*m/R.

Ennek megfelelő mennyiségű mozgási energiával kell ellátni:

v_0 = sqrt(2*G*M/R).

A google-be beírva:

sqrt((2 * gravitational constant * mass of Earth) / radius of Earth) =

11 179.7437 m / s

Ha észrevesszük hogy g egyenletesen változik és a test harmonikus rezgőmozgást végez, akkor sokkal egyszerűbb a képlet:

v_k = (first cosmic velocity) = 11.186 km/s

Szerintem #3-as tökéletesen gondolta, anno volt is egy ilyen fizika feladat zh-ban egyetemen.

Először is vegyünk fel egy koordinátarendszert, mely a Föld2 tömegközéppontjának és a test pillanatnyi helyzetének metszetében van -forgás szimmetria miatt a mozgás végig ezen síkbeli, sőt egyenes vonalú lesz-. Ennél fogva legyen az "x" tengely a mozgás menti koordinátatengely. "R" a Föld2 sugara, "x" a Föld2 tömegközéppontjának és a testnek vett távolsága.

A következő feladat az lenne, hogy meghatározzuk a mozgásegyenletet. Az eredő erő nyilván "x" irányú lesz, de kéne találni egy egyszerű felírási módot. Ehhez szerintem egy elektrosztatikai hasonlat segít: cseréljük ki a Föld2 minden egyes tömegpontját pozitív elemi töltésre, a kilőtt golyót pedig negatív töltésű próbatöltésre. Az a kérdés, hogy a homogén eloszlású, gömbbe rendeződött pozitív töltések együtt milyen irányú, és nagyságú térerősséget fejt ki az elemi töltésre? Ehhez elég a gömb középpontjától a testig húzott sugarú gömb által magában foglalt töltéseket tekinteni.

Vagyis, ha a Föld2 sűrűsége = ϱ

Akkor a tömegközéppontól a testig húzott sugarú gömbben foglalt tömeg = (4·ϱ·x^3)/3

A mozgásegyenlet (kilőtt golyó tömege "m", "Γ" a gravitációs konstans):

F = m·a = -Γ·m·M / x^2 = -Γ·m·(4·ϱ·x^3)/(3·x^2)

a = -Γ·ϱ·x·(4/3)

Amely egy rezgő mozgás egyenlete, a te kezdeti feltételed az lenne, hogy x = R kitérésnél az első derivált értéke legyen nulla.

Az attól függ milyen modellt használsz. Ha teljesen homogént akkor tényleg ennyire egyszerű, mert ekkor a Föld középpontjából 0 térerősséggel indulva lineárisan nő a g a felszínig. Onnan meg a jól megszokott 1/r^2- el cseng le.

Ha lineárisát feltételezel akkor

1/2 m* v^2=m*9.81*6371 0000 /2 képletet használhatod nyugodtan. (meglepően jó eredményt ad)

Azonban a Föld tömegeloszlása nem egyenletes, ezért más függvényeket kell használni, mint pl a mellékelt linkben. Ha ismered a jobb modellek függvényeit akkor azokat kell integrálni 0-tól a felszínig és máris megkapod a teljes potenciális energiát.

Kedvenc keresődbe:

'Gravity inside the Earth' és a képekre keress rá.

[link]