Leírná valaki a következő tétel bizonyítását: a|b => a|b*c?

(Minden változóval egész számokat jelölök.)

Definíció szerint x|y pontosan akkor, ha létezik olyan z, hogy z*x = y.

Hogy belássuk a tételt kell találunk egy x-et, amivel a-t megszorozva b*c-t kapunk, x*a = b*c.

A tétel feltétele és a definíció miatt van egy olyan d, hogy

d*a = b.

Ezt szorozzuk meg c-vel:

c*d*a = b*c.

Ebből x = c*d, tehát készen vagyunk, mert két egész szám szorzata egy létező egész szám.

Nagyon egyszerű; az a|(b*c) azt jelenti, hogy ha a b*c-t elosztod a-val, akkor egy egész számot kapsz; osszuk akkor el:

(b*c)/a

A törteknél tanult műveletek szerint a fenti tört átírható c*(b/a) alakra. Mivel b/a egész, c szintén, két egész szám szorzata pedig mindig egész, ezért az eredeti tört értéke is egész, vagyis a|(b*c), és ezt kellett belátni.

A fenti levezetés a=/=0 esetén működik csak, érthető okokból. Ha a=0, akkor 0|b csak b=0 esetén lesz igaz, így viszont az is egyértelmű, hogy 0|(0*c), tehát tetszőleges egész a-ra működik a történet.