Kitalálom melyik számra gondoltál! Mi a trükkje? Meg tudod csinálni?

Prímtényezős felbontás.

Nem nézegettem végig, de gondolom mindegyik számnak van egy egyedi prímtényezője, így a végeredményt felbontva egyértelműen meghatározható, hogy a szorzat melyik számokból lett előállítva.

Talált?

> (22 szám, nem számtani vagy mértani sorozat)

Ez így nem teljesen igaz. Gyanús volt a számok növekedésének mértéke ebben a sorban. A számok hányadosa is ismerős számnak tűnt, ami nem más, mint sok tizedes jegy pontossággal az aranymetszés száma: φ=(√5+1)/2

9425315994 / 5825165639 ≈ φ

5825165639 / 3600150355 ≈ φ

…

2639405 / 1631242 ≈ φ

1631242 / 1008163 ≈ φ

1008163 / 237995 = 4,236067985… ≈ φ^3

237995 / 90906 = 2,618034013… ≈ φ^2

(Az elején van néhány kimaradt elem a mértani sorból. Lehet azért, hogy ne tűnjön fel, hogy ez egy mértani sor? Vagy valamiért a kerekítés elrontja a kihagyott számoknál a trükköt? Nem tudom, nem is érdekes.)

Tehát ez egy mértani sorból kiragadott néhány elem, az elején ki van hagyva pár, de a lényeg ugyanaz, mindegyik felírható így:

a[n] ≈ k * φ^n

(n∈ℕ)

~ ~ ~

Ha ennek vesszük a φ alapú logaritmusát, akkor:

log{φ}(a[n]) = log{φ}(k) + n

Ha megnézzük így is van:

log{φ}(90906) = 23,72672634

log{φ}(237995) = 25,72672636

log{φ}(1008163) = 28,72672636

log{φ}(1631242) = 29,72672636

…

log{φ}(5825165639) = 46,72672636

log{φ}(9425315994) = 47,72672636

(Látható, hogy az első hét tizedes számjegy megegyezik.)

~ ~ ~

Mivel ilyen számokat szorzunk össze az eredmény megkapásához, ezért az eredmény φ alapú logaritmusa n + 0,7267263… -ak összeadását jelenti.

e = a[1] * a[2] * a[3] * …

log(φ)(e) = log{φ}(a[1]) + log{φ}(a[2]) + log{φ}(a[3]) + …

log(φ)(e) = log{φ}(k) + n + log{φ}(k) + m + log{φ}(k) + o …

log(φ)(e) = g * log{φ}(k) + (n+m+o+…)

Itt „g” a gondolt szám. Az „n”, „m”, „o” egész számok, így a nem egész részt a (g * log{φ}(k)) fogja adni. Mivel itt k egy fix érték, ezért az eredmény φ alapú logaritmusának törtrészéből vissza lehet következtetni a gondolt számra.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Addig biztosan megvagyunk, hogy elsőnek kell venni az eredmény φ alapú logaritmusát. Ha nincs „n alapú logaritmus” a számológépen, akkor a logaritmus azonosságok használatával ki tudjuk számolni:

log{φ}(e) = ln(e) / ln(φ) = log{10}(e) / log{10}(φ)

A kapott eredmény tizedesvessző utáni részéből vissza lehet kapni a gondolt számot:

,4534… → 2

,1801… → 3

,9069… → 4

,6336… → 5

,3603… → 6

,0870… → 7

,8138… → 8

,5405… → 9

,2672… → 10

,9939… → 11

,7207… → 12

,4474… → 13

,1741… → 14

,9008… → 15

,6276… → 16

,3543… → 17

,0810… → 18

,8078… → 19

,5345… → 20

A te példádnál maradva:

eredmény:

e = 3.149350701*10^61

Természetes alapú logaritmust használva:

ln(e) = 141,604886978

Ezt osztva ln(φ)-vel azaz ln((√5+1)/2) = ln(1,6180339…) = 0,4812118… -al:

log{φ}(e) = 294,2672636…

Ennek a törtrésze: 0,2672636…

A fenti táblázat alapján a gondolt számod 10.

~ ~ ~

Most vagy be kell tanulni a táblázatot, vagy vissza lehet számolni valamilyen trükkel egy olvashatóbb értéket. Ha ez utóbbi áll fenn, akkor azt egyelőre passzolom. Lehet, még elgondolkodok rajta.

> Gratulálok MESTER, Ön egy igazi TUDÓS!

Nyilván erős túlzás. Mindenesetre jó ki agytornáztató feladat volt. Tetszett…

> De azért nem hazudtam, nem PONTOSAN mértani sor.

Hát igen, valójában nem az, csak egy mértani sor elemeinek kerekített értékéből álló számsor.

> Fibonacci-sor, nem szokványos kezdéssel: 28, -9, 19, 10, ...

Aham! (Akkor ezért bukkant fel az aranymetszés száma…)

> Nem lehet a kicsi számokat alkalmazni, mert akkor még sok lehet a "hiba".

Igen, pont az jutott eszembe, hogy esetleg azért lettek kihagyva a hiányzó számok a számsorban – jellemzően kis számok –, mert ott nagyjából félúton volt a[n]/a[n-1] és (a[n]+1)/a[n-1] között a φ, és elronthatta az algoritmust. De így Fibonacci nevét bedobva érzem, hogy nem lehet ilyen gond, mert ugye ott konvergál a szomszédos elemek hányadosa φ-hez.

> Nem kell betanulni a táblázatot, vissza lehet számolni valamilyen trükkel(?) egy olvashatóbb értéket.

Igen, azért gondolkodtam ezen, de egyelőre nem jutottam semmire. Kicsit ötlettelenül adhoc jelleggel próbálkozam. Az a baj, hogy sokféle megoldást el tudok képzelni. De lehet valamiféle analitikusabb megoldást kell erre keresni, valahol a log{φ}(k) értékéből kiindulva. Még eltöprengek rajta. De lehet, hogy ebből szabad a gazda lesz…

OFF

"de muszáj volt, nehogy 'má valaki kiguglizza! :D "

Zsíííííír-profi :-)

Nos. Így az utolsó lépés ki nem találása után inkább érzem magam Mr. OSTOBÁNAK. :-)

~ ~ ~

Viszont vannak ötleteim a feladat nehezítésére, továbbgondolására és részben egyszerűsítésére.

1. A számsor elemeit érdemes lenne a feladatban összekeverni. Feladtam a feladatot pár IQ-sabb barátomnak, és rögtön az volt az első benyomásuk, hogy a számok növekedésének üteme túlságosan ismerősnek tűnik.

2. A Fibonacci-sorból indultál el, de ez tulajdonképpen nem kell. A Fibonacci-sor miatt egy kvázi mértani sort kapunk, de tulajdonképpen bármilyen mértani sor megteszi. Ha valaki többször látta, és kipróbál néhány arányt, akkor nagyon hamar feltűnik neki, hogy itt az aranymetszés számát látja. A számsor növekedése alapján is ráérezhető az, hogy itt egy jól ismert növekedés van. Ha más kvócienst használunk, arányként nem egy nevezetes számot kapunk, ami kevésbé sokat sejtető. Illetve ha valaki elkezdi a szomszédos számok különbségét számolgatni, akkor feltűnhet neki, hogy olyan számot kap különbségként, ami pont az előző elem, így feltűnhet a Fibonacci-sor jelleg. Ha a kvóciens nem φ, akkor ez az összefüggés nem fog fenállni.

3. Ha megfelelően kis kvócienst használunk, több elem is kihagyható a sorozatból. Mondjuk kreálunk egy számot: 1,0300987. Megjegyezhető szám. Ha ez a mértani sor kvóciense, akkor kellően lassan nő ahhoz, hogy meg lehessen csinálni azt, hogy az első két elem szomszédos a mértani sorban, majd kihagysz egyet, majd jön a harmadik számod, majd kihagysz kettőt, majd jön a negyedik számod, majd kihagysz hármat, majd jön az ötödik számod. Így nincs két egyforma arány a számok között. Ugyanezt az 1,0300987-et használhatod a logaritmus törtrészeként is. Ezzel azt is garantálod, hogy nem kell kivonogatni majd számokat, hanem osztássá lehet egyszerűsíteni a dolgot. Pl.:

a[1] = q^(456+0+1,0300987)

a[2] = q^(456+1+1,0300987)

a[3] = q^(456+1+2+1,0300987)

a[4] = q^(456+1+2+3+1,0300987)

a[5] = q^(456+1+2+3+4+1,0300987)

a[6] = q^(456+1+2+3+4+5+1,0300987)

Így kerekítés után a következő számsort kapod:

769161, 792312, 840725, 918947, 1034679, 200051, 1433748, 1764512, 2236945, 2921224, 3929645, 5445284, 7772605, 11428559, 17309926, 27007090, 43404946, 71858721, 122545843, 215276451

Összekeverve sokkal randomabbnak tűnik az egész:

2921224, 215276451, 17309926, 3929645, 1764512, 11428559, 7772605, 122545843, 1433748, 1034679, 2236945, 200051, 840725, 27007090, 769161, 5445284, 71858721, 43404946, 918947, 792312

(Nincs két azonos arány. De további kísérletezéssel, meg némi megérzéssel azért még rá lehet jön, hogy az egymás utáni arányok azért mégis mértani sort alkotnak. Szóval azért nem hagyjuk mankó nélkül a feladatmegoldót, csak csavarunk egyet a feladaton.)

További előny, hogy mivel az hatványnál a törtrész kellően kicsi (0,0300987), ezért nincs túlcsordulás, osztással is vissza lehet kapni az gondolt számot. (Ugyanezt garantálja, hogy viszont a harmadik, negyedik tizedesjegy 0, így a további rész meg nem zavar be.)

Így módosítva a feladatot, tulajdonképpen egyetlen számot kell megjegyezni, ezt az 1,0300987-et. (De lehetne akár bármilyen 1,0100…; 1,0200…; 1,0300; 1,0400… alakú is ez a szám. Persze ettől függően az első két tizedes jegyet 1-el, 2-vel, 3-al, illetve 4-el kellene osztani.) A gondolt szám, meg egyszerűbben megkapható:

gondolt szám = kerekítés( 100/3 * törtrész(ln(eredmény) / ln(1,0300987)))