Mely számoknak van páratlan osztója?

Amiket egy egész szám négyzetre emelésével kapsz.

pl. 1, mert 1*1 = 1

ennek osztója az 1, tehát 1 osztója van.

4, mert 2*2 = 4

ennek osztója az 1, 2 és 4, tehát 3 osztója van.

9, mert 3*3 = 9

osztók: 1, 3, 9, ennek is 3 osztója van.

stb.

Amúgy a google-t is lassan megtanulhatnád használni.

Állítás: Ezek pontosan a négyzetszámok.

Bizonyítás: Legyen n pozitív egész! Állítsuk párba az osztókat, amelyekben a szorzat kiadja a számot! Ilyennek lennie kell, mert ha d osztója n-nek, akkor van egy d', hogy dd' = n.

Ha páratlan számú osztó van, akkor egy osztó kimarad, nincs tőle különböző párja, így kénytelen önmaga párja lenni, mert a többi osztó már párba van állítva.

Fordítva, ha n pozitív négyzetszám, és d a négyzetgyöke, akkor d * d = n. Ez azt jelenti, hogy d osztópárja d, és mivel egyértelmű, ezért akárhány más osztó van, az ő párjuknak önmaguktól különbözőnek kell lennie.

Tehát például25-nek 3 osztója van, 36-nak 9.