Egymillióig, vagy egymilliárdig nagyobb azoknak a számoknak az aránya, amelyek prímfelbontásában nincsen 1-nél nagyobb hatványkitevő?

Egymillióig:

607925 számnak nincs 1-nél nagyobb hatványkitevője

223984-nek a legnagyobb 2

92029-nek 3

40449-nek 4

18566-nak 5

8767-nek 6

4219-nek 7

... és innentől nagyjából feleződik minden lépésben egészen 19-ig.

Egymillióig. A kérdés ekvivalens azzal, hogy egymilliárdig vagy egymillióig van arányaiban kevesebb valamilyen prímnégyzettel osztható szám. Ezek bizonyos maradékosztályokba tartozó számok egymillióig illetve egymilliárdig. (4-oszthatóak; 9-cel oszthatóak, de 4-gyel nem; 25-tel oszthatóak, de 4-gyel és 9-cel nem; stb) Mindegyik osztályhoz [n/konstans, ami az osztályhoz tartozik] darab tartozik n-ig.

Egymilliárdig pedig egyrészt több prímnégyzet van, másrészt 1000*[1.000.000/c]=<[1.000.000.000/c].

[ ]-lel az alsó egészrészt jelölöm.

Á, látom, félreértettem a kérdést. Azt hittem arra gondolsz, hogy sok-sok nagy szám között többségében olyanok vannak-e amelyekben szólóban állnak a prímtényezők, vagy sem.

Ami amúgy önmagában is egy érdekes kérdés: egy véletlenszerűen kiválasztott, óriási (mondjuk egymilliárd számjegyű) egész szám prímfelbontásában mekkora a legnagyobb hatványkitevő várható értéke. A válasz pedig érdekes módon egy igen szerény, 1.7-hez közeli érték, a legvalószínűbb legnagyobb hatványkitevő pedig az 1.