A vektorteret valaki elmagyarázná?

Sajnos a vektortereknek nincs szemléletes jelentése -az euklidészi tereken kívül-. Azért, mert ez egy permanencia-elv alapján kiterjesztett fogalom kör, mint pl a hatványozás, szorzás. Ott sem lehet szemléletes jelentés tartalmat adni az irracionális számokkal való szorzásnak, vagy a nem egész kitevős hatványozásnak. Ugyan ez van a vektorokkal, vektorterekkel.

A vektornak meg volt az általános iskolás / középsulis definíciója "szemlélete", hogy azok irányított szakaszok, de ez az egyetemi lineáris algebrában már tovább bővül. A "vektortér az a hely, ahol ezek a kis átkozottak élnek" -ahogy a tanárom mondaná.

Egy tippet adok, hogyha megszeretnéd érteni a lineáris algebrát ne akarj mindennek szemléletes jelentést adni, egyszerűen csak értsd meg, hogy egy adott fogalom bevezetése miért lesz célszerű a továbbiakban -pl bázis, dimenzió, generált altér-.

A dimenzió az egyik bázisának elemszáma, míg a bázis a vektortérben egy lineárisan független generátorrendszer. Ez például a 3D-s euklidészi térben annyit tesz, hogy bázisnak nevezzük azokat a vektorokat, melyeknek akárhányszorosát összeadva egymással sosem kapok olyan (összeg/eredő)vektort mely az origóba mutatna. Ha megnézed a 3 egységvektort (i-j-k) azokat bármilyen sorrendben, bármilyen skalárszorosát összeadva sosem kapsz 0 vektort.

A dimenzió itt egyértelmű, de absztrakt tereknél már nem, és nem is érdemes szemléletet keresni, mivel a matematika egy absztrakt tudomány. Sajnos ez ilyen de majd hozzászoksz:D

Nem tudok egyetérteni az elõttem szólóval, sõt.

Nagyon kontraproduktív a betûket betûknek tekinteni. A hasznos absztrakció a másik irányba mûködik. Nem azt képzeljük hogy az egyszerû dolgok bonyolultak, hanem azt, hogy a bonyolult dolgok csak kissé térnek el a megszokott, jól ismert dolgoktól.

Ha van egy nagyon ronda vektortered, akkor elsõ körben úgy képzeled, mintha R^3 lenne. Ha be kell róla látnod valamit, akkor R^3-ban próbálod belátni, és, azt viszed tovább. A betûs-axiómás vacakolás az nem jó semmire, azon kívül hogy... Hát, nem is tudnék hirtelen példát mondani. Szóval nem jó semmire.

Mindenestre jó látni néhányat, hogy ha szembejönnek akkor megismerd:

> [link]

Általánosan is igaz ez, de vektorterekre hatványozottan. Egy vektortérnek talán nincs más tulajdonsága mint a dimenzió, egyszerûek mint a bot. (Hirtelen nem is tudok nemtriviális állítást tenni vektorterekrõl. Aztán, lehet hogy vannak, csak elfelejtettem, vagy hogy van, csak még nem fedeztük fel õket, de az is megeshet hogy az a néhány axióma egyszerûen kevés ahhoz hogy bármi értelmes következzen belõlük)

((Banach terek meg a hasonlók lehetnek vadabbak egy kicsit, de ott sem a vektortér struktúra, hanem az egyéb struktúrák azok, amelyek eltérnek, és amelyek furábban viselkednek mint amit megszoktál R^3-ben. De azok már nem az algebra területe))

Az előttem szóló (dq-val) teljes mértékben egyetértek. A tanulás, megismerés folyamata mindig az egyszerűbbtől a bonyolultabb felé halad. És ha egy bizonyos szinten már jól eligazodsz, jöhet a szintézis.

A vektortér vektorokból áll. Nagyon sokféle vektor van. Első körben ugye vannak a kétdimenziós vektorok, tehát amik a síkon (egy valamilyen síkon) vannak. Minden vektornak iránya és nagysága van, és minden vektort néhány adattal jellemezhetsz pontosan. A mostani vektorunkat például két adattal, ha már kijelöltél egy mértéket (itt egy két dimenziós koordináta-rendszert). Ha egy ilyen vektort 10 adattal tudsz pontosan megadni, akkor egy 10 dimenziós térben vagy. Ez még hagyján, mert itt a dimenzió véges. Lehet jó nagy is, de véges. Az ember úgy elképzeli, hogy nem "három ága" van például, hanem tíz. Komplikálódik a dolog, ha végtelen lesz a dimenzió, azaz végtelen adattal írható le a vektorunk. Na de ennyit leírni se tudunk, nemhogy számolni vele. Erre találjuk fel azt hogy keresünk mindenféle egyéb tulajdonságokat, elnevezzük definícióknak, azokból újabb tulajdonságokra jövünk rá, azokat meg tételnek nevezzük el, míg végül lesz egy vektorterünk, és a bonyolultságától függően egy kis füzetecske, vagy több kötetes tanulmánysor írja le. És még lehet kutatni további tulajdonságok után, amiket tudományos cikkekben tudathatsz a nagyvilággal.

A vektortér tehát sokféle. A dimenziójától függően, tehát hogy hány adattal adható meg eleme, mindenféle tulajdonságait állapítjuk meg, ezeket rendszerbe szedjük, és közben arra is rájövünk, mi mindenre jók. Erre a különféle tulajdonságaik elemzéséből jövünk rá. Eleinte dimenziókról beszélünk, később (mivel úgy se tudunk mit kezdeni vele) már inkább csak a tulajdonságait soroljuk. Veszünk (azért nem teljesen, de valójában mégis) önkényes kategóriákat, és a vektortereinket besuvasztjuk valamelyikbe. Ez azért jó, mert így elég a kategóriáról és a szempontról beszélni, az összes ide tartozó vektortér hasonló tulajdonságú. A szemléletes példák pedig eleinte nyilvánvalók, a megszokott 3 dimenzióshoz hasonlók, később (a bonyolultabbaknál) pedig különféle cikkekben adják meg, he ráleltek egyre. A fontosabbakat tanítják a szakirányú egyetemi képzésekben, a többire meg rálelsz, ha szükséged lesz rá.