Minden számnak van négyzetgyöge? Ha igen akkor miért?

@1: de, van.

@kérdező: természetesen van. A miért egy érdekes kérdés. Mert ha nem lenne, akkor gyökvonásra nem lennének zártak a számok - elég fura lenne.

Hogy értsd, kezdjük a természetes számokkal: ha két természetes számot összeadunk, az eredmény szintén természetes szám lesz. Ezt úgy lehet kifejeznk, hogy a természetes halmaza zárt az összeadásra. De kivonásra már nem: ha ki akarsz vonni négyből ötöt, már nincs értelmezve az eredmény a természetes számok halmazán. Semmi baj, bővítjük a számhalmazt: az eredmény az egész számok halmaza. Ez már zárt összeadásra, kivonásra (szorzásra is), de pl ha el akarod osztani a négyet öttel, már nem megy: az egész számok halmazán ez a művelet nem értelmezhető. Megoldás: bővítés. És megkapjuk a racionális számokat. Ez már zárt összeadásra, kivonásra, szorzásra, osztásra, de ha azt kérdezed, hogy mennyi négyzetgyök kettő, már gond van. Gyök kettő nem értelmezhető a racionális számok halmazán. Megoldás? Bővíteni azt. Így jutunk el a valós számokig. De gond van: ez még mindig nem zárt gyökvonásra, mert ha azt kérded mennyi négyzetgyök alatt mínusz négy, nem tudsz rá válaszolni ezen a számhalmazon. Megoldás? Bizony, újabb bővítés. És eljutunk a komplex számokig, ami gyökvonásra is zárt.

Igazából arról van szó, hogy az összeadás-kivonás, szorzás-osztás, hatvánsozás-gyökvonás párokból az utóbbiak mindig kivezetnek egy-egy kényelmes számhalmazból és utat mutatnak más, szélesebb halmazok felé. És mivel úgy bővítjük a számhalmazainkat, hogy minden gyökvonás értelmezhető legyen, minden gyökvonás értelmezhető is. Az összes négyzetgyök is.

Annyit még, hogy pl. a harmadik gyökkel ugye nincs ilyen probléma?

Harmadik gyöke minden számnak van.

Csakhogy minden számnak HÁROM DARAB harmadik gyöke van, és ebből max. az egyik valós!

Ugyanígy minden számnak van 4 db. negyedik gyöke, stb.

A négyzetgyök esetén a négyzetgyök definíciójából kell kiindulni. x négyzetgyöke az a nemnegatív szám, aminek a négyzete x. 9-nek a négyzetgyöke az a nemnegatív szám (3), aminek a négyzete (3²) kilenc.

Tehát csak olyan számnak van négyzetgyöke, ami két nemnegatív szám szorzatából előáll. Ha két nemnegatív számot összeszorzol, akkor az eredmény nemnegatív szám lesz, tehát csak nemnegatív számnak van négyzetgyöke.

Elvileg eltekinthetnénk attól a kikötéstől, hogy a négyzetgyök csak nemnegatív számot jelenthet, de akkor sem jobb a helyzet. Ugye a -3 is lehetne az x² = 9 megoldása, de ha két negatív számot szorzol össze, akkor is pozitív lesz az eredmény. Ergo a valós számok halmazán akkor is igaz lenne, hogy egy negatív számnak nincs négyzetgyöke. (Komplex számok halmazán már van, de ott egy kicsit a gyökvonás, négyzetgyökvonás művelete is átértelmezendővé válik, hiszen ott nem lehet nemnegatív eredményről beszélni.)

Sőt ez nem csak a négyzetgyökre, hanem általában a páros fokú gyökre is igaz, negatív szám nem állhat össze ugyanannak a számnak a páros számú összeszorzásából, mert páros alkalommal fog előjelcsere történni: 2 * 2 * 2 * 2 = 16, de -2 * -2 * -2 * -2 = 16. Ha páros, ha páratlan lenne a gyökvonás eredménye, amiből gyököt vontunk, az csak páros lehet.

Hogy miért egyébként a kikötés, hogy a négyzetgyök alatt mindig a nemnegatív számot értjük? Hogy egyértelmű megfeleltetést jelentsen a művelet. A legtöbb esetben ugyanis valóban nemnegatív számot keresünk. Egy négyzet területéből az oldalhosszúságának kiszámításához négyzetgyököt kell vonni, viszont oldalhosszúságot csak nemnegatív számként tudunk értelmezni. Ahol meg mégis értelme lenne a négyzetre emelés megfordításával kapott negatív eredménynek, ott meg elé írjuk, hogy ± és kész. Mint a másodfokú egyenlet megoldóképletében, ott is ±√(…) szerepel.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Páratlan fokú gyöknél ki lehet terjeszteni a gyökvonás műveletét, ki is szokták, egy ²√(-27)-nek elfogadjuk a -3-at eredményül. Ez is egyértelmű, hiszen itt is csak egyetlen olyan valós szám van, aminek a köbe -27-et ad.

A probléma ott kezd kényelmetlenné válni, mikor törtszám van a gyökjel felett – de inkább a hatványnál gond ez, hiszen a gyökvonás kifejezhető hatványként is – , ott már nem ennyire triviális a dolog, hogy mondjuk valamit a négyzetre emelünk és abból vonunk köbgyököt, vagy fordítva, mert aszerint lesz vagy nem lesz megoldása a valós számok halmazán. Az irracionális fokú gyökök esetén meg aztán még nehezebb a kérdés.