Matematikát szeretők/értők! El tudnátok magyarázni nekem ezt?

Ha nagyon alaposak akarunk lenni, akkor ez három. A deriválás és integrálás függvényeken végzett műveletek. Egyik a másik inverze. Ahogy az osztás és szorzás. Ha egy számot elosztasz valamivel, majd az eredményt ugyanazzal megszorzod, visszakapod az eredeti számot. Vannak feltételek, mikor végezheted el a műveleteket. Ugyanez a helyzet az általad kérdezettel: ha egy függvényt deriválsz, majd az eredményt integrálod (bizonyos feltételek mellett) visszakapod az eredeti függvényt.

Vannak tehát olyan függvények, amelyek egy másik függvénynek deriváltjai, vagy integráltjai. Ha ezekkel a függvényekkel (mindegy melyikkel) műveleteket végzel, netán egyenleteket oldasz meg, vagy még bonyolultabb dolgokat teszel, az a differenciálszámítás.

Hogy összezavarjalak (nem azért persze, de igaz), bizonyos körülmények között egy függvény deriváltjáról is beszélhetünk, és differenciálhányadosáról is, és e kettő ugyanaz a függvény.

Mi egyszerűek a függvényt úgy képzeljük, hogy az egy vonal a derékszögű koordinátarendszerben. Illetve egy olyan "egyenlet" , aminek a bal oldalán y van a jobbon meg az x és számok. Ezek a számok és a velük történő műveletek határozzák meg, hogy egy bizonyos x érték esetén mennyi lesz az y értéke. Az x értékét a vízszintes, az y-ét meg a függőleges tengelyre mérjük fel, így sok x esetére az y-t kiszámítva egy vonalat kapunk. Ja, még azt is tudjuk, hogy az y=x négyzet egy parabola, az 1/x meg hiperbola. Ha szorozzuk az x-et, akkor más alakú lesz a görbe, ha meg hozzáadunk, vagy kivonunk belőle valamit,nakkor máshol lesz a koordináta rendszerben.

Az tehát, hogy ezekkel műveleteket lehet végezni, nekünk nem érthető.

@5

Akkor sajnos nem jól magyarázták nektek a dolgokat. A differenciálszámítás megértéséhez először a fügvény és a határérték fohalmával kell tisztában lenni. Ha ez megvan, akkor csak azt kell megérteni, hogy mit jelent a koordinátarendszerben egy egyenes x tengelyhez képesti meredeksége. Ha is megvan, akkor pedig a kettőt összetéve megkapjuk a deriváltat, ami egy ilyen "vonal" (értsd: függvény) minden egyes pontjában (értsd: x változájában) megadja az f(x) pontban (értsd: a függvény x pontbeli értéke által kijelölt pontban) a függvény meredekségét. Így aztán egy újabb függvényt definiáltál, hiszen x-ekhez rendeltél egy számot, a meredekséget, és ez lesz a deriváltfüggvény.

Ami pedig az eredeti kérdést illeti: a differenciálszámítás a függvények differenciálásával, az ezekkel kapcsolatos tételekkel, szélsőérték-kereséssel foglalkozik. A deriválás maga a művelet, amelynek során adott függvényhez előállítjuk annak deriváltfüggvényét. Az integrálás pedig a fordított irány: azt a függvényt keressük, amelynek egy adott függvény a deriváltja. Ennek egy speciális esete, amikor egy függvény alatti területet akarunk kiszámolni, akkor is ezt a műveletet kell elvégezni. Az integrálással pedig értelemszerűen az integrálszámítás foglalkozik.

Egyikben sincs semmi misztikus. Magabiztosan kell hozzá ismerni a középiskolai matekot, meg kell egy jó tanár, aki faksznik és hadoválás nélkül elmondja a lényeget, lehetőleg szemléletesen. Sokan azt hiszik, hogy ez a matematika netovábbja. Nem, ez a matematika alapjaihoz tartozik. Ennél nagyságrendekkel nehezebb dolgok vannak a matematikában.

Kedves kérdező!

A deriválással és az integrálszámítással bővebb határok között az analízis foglalkozik. Ahogyan az előttem válaszoló is írta először a határérték fogalmával kell tisztában lenni illetve nem árt ismerni az elemi függvényeket sem.

A deriválást és az integrálást legegyszerűbben a fizika által lehet bemutatni.

képzelj el egy lovat ami egy cölöphöz van kikötve valamilyen hosszú kötéllel. Ahogy telik az idő a ló megy ide megy oda legel itt és legel ott.

Ha az idő függvényében ábrázolni akarjuk a ló távolságát a cölöptől, akkor pl kaphatunk egy ilyet: [link]

Ezt úgy kell értelmezni, hogy pl az A pontban: 2.28 másodperccel az időmérés kezdete után a ló 1.35m távolságra volt a cölöptől.

Ezt a függvényt úgy hívjuk, hogy kitérés idő függvény: x(t) a jelölése.

Fizikából ismerjük az átlagsebesség fogalmát. Tegyük fel, hogy elutazunk egy városba ami 90km-re van és ehhez 1.5 óra kell, nyilván hol 50-nel hol 90-nel haladunk, de elmondhatjuk, hogy összességében átlagosan 90/1.5=60km/h volt a sebességünk.

Vetítsük ezt vissza a lovas példára. A ló A és B pont között 4.46 - 2.28 = 2.16m utat tett meg amihez 2.64-1.35=1.29s kellet tehát A és B pont között 2.16/1.29=1.6744m/s volt a ló átlagsebessége.(Vegyük észre a derékszögű háromszöget!!).

[link]

Az átlagsebesség A és B pont között pontosan a piros vonal meredeksége.

Mi van akkor ha nekem ez az idő intervallum nem felel meg mert túl pontatlan az eredmény. Hát egyszerűen akkor veszek kisebb időközt és elvégzem ismét a számítást. Majd még kisebb és még kisebb időközökkel megcsinálom ezt, vagyis a B pontot közelítem A-hoz. Ezt így írják: lim B->A

Ez egy határérték számítás lesz. Ha ezt elvégezzük kapunk mégegy egyenest azonban ez már különleges lesz.

Ez ugyanis a függvény A pontjában felvett érintője lesz.

Ez pedig megmondja, hogy az A pontban egységnyi idő elteltével mennyit változott a függvény (vagyis a ló milyen messze került a cölöptől).

Ezt nevezzük az x(t) függvény A pontban vett differenciálhányadosának.

Gondolkozzunk kicsit! Egy adott idő pillanatban adott helyen vagyunk majd egységnyi idő elteltével az előző ponthoz képest valamilyen távolságba kerültünk. Ehhez mi kell? Hogy eljussunk valahová? Naná hogy sebesség! út=sebesség*idő. Voálá. Tehát, ha kiszámoljuk az A pontban a piros vonal meredekségét egy határérték számítással akkor megkapjuk, hogy a ló abban a pillanatban mekkora sebességgel haladt.

Ha mi azonban nem csak egy pontban szeretnénk meghatározni a ló sebességét hanem tetszőleges időpillanatban akkor jön képbe a deriválás. Ez egy függvény ami bármely pillanatban megmondja neked, hogy a ló mennyivel ment, míg az előző esetben csak egy pontban tudtuk megmondani.

Más szóval a derivált -konyhanyelven megfogalmazva- megmondja, hogy az adott függvény, hol milyen mértékben változik.

Egyébként ha hasonló analógiával folytatjuk, és a kapott derivált függvényt ami igazából a sebesség idő függvénye v(t), mégegyszer lederiváljuk akkor pedíg a gyorsulás idő függvényt kapjuk, hiszen a sebességet a gyorsulás változtatja (az idő független változó). A gyorsulás idő függvény (a(t)) pedig a kitérés idő függvény idő szerinti második deriváltja lesz.

Két érdekesség:

Mivel a kitérés idő függvénynél a sebesség nagyságát a derékszögű háromszög két befogójának hányadosával kaptuk meg, ezért a sebesség tangenciális irányú.

Kétváltozós függvények esetében is beszélünk x és y szerinti deriváltakról is, de ezeknek már f'x(x,y) a jelölése és azt jelenti: f(x,y) kétváltozós függvény x szerinti parciális deriváltja, de ezek már egyel magasabb matekon vannak. Ugyanígy járhatunk el n változós függvény esetében is.

A deriválásról általánosságban elmondható, hogy sokkal könnyebb az integrálásnál. Idézek:" Deriválni egy lovat is meg tudsz tanítani, de az integrálás, na az már művészet". Ez így is van, a deriválásnál mindig vannak általános érvényű alapszabályok amiket lehet alkalmazni. Bármilyen csúnya függvényt látsz le lehet deriválni, max még csúnyább függvényt kapsz.

Az integrálásnál csak egy két szabály van a többi a fantáziádra van bízva, ügyeskedni kell, átrendezni, egyszerűsíteni, bővíteni, kiemelni, azonosságokat használni stb.

Olyan függvényeket is lehet integrálni amik egyes helyeken a végtelenbe tartanak -divergens- gondolok itt pl az 1/x függvényre. Például integráljuk az 1/x függvényt 0 és 1 között..Ez már nehezebb feladat ahol szintén előkerül a határérték számítás (egyébként impropius integrál a neve).

Mindjárt írok az integrálásról is.

Remélem sikerült valamit átadnom, ha nem, kérdezz.

#5-nek:

Világos beszéd és elfogadható. A függvények a matematika egy kicsit bonyolultabb eszközei, ha nem tanultad elég alaposan, nem értettél belőle valamit, akkor ez misztikus lesz, helyesen látod.

Amiről te írsz, az az úgynevezett egyváltozós függvény. Egyes egyszerű változatainak külön nevük is van, ilyen például a parabola. Van többváltozós is, a kétváltozósat magad is el tudod képzelni. Végy egy lepedőt, amit éppen meglengettél. Ez egy jó bonyolult alakzat, nem biztos, hogy szép képlettel fel tudod írni (más se), de azt nyilván látod, hogy ha a vízszintes földre képzelsz egy (xy) koordinátarendszert, akkor minden ponthoz, amit a lepedőd letakar, van egy magassági pont. ha ezeket összegyűjtöd, kaptál egy z=f(x,y) függvényt, ami azt jelenti, hogy minden x-hez és y-hoz hozzárendelünk egy z értéket. Aztán mehetsz tovább, az f mögötti zárójelbe akárhány változót is írhatsz. Persze ilyenkor ritka a szépen megadott képlet, nem is ezeket a módszereket használják.

Ami a függvényekkel való műveleteket illeti, szerintem magad is végeztél ilyen, csak nem figyeltél fel rá.

y=4x^2 egy függvény. y=8x+2 is egy függvény. Add össze őket. 2y=4x^2+8x+2, szokásos alakban: y=2x^2+4x+1. Vagy másképp: y=(x+2)^2-3, ami egy parabola. Összeadtál egy parabolát és egy egyenest, és kaptál egy eltolt parabolát. Vagy: (x+3)/(x-1). Ez egy érdekes függvény, két egyenest osztottál el.

A deriválás és integrálás egyszerű eseteit is be lehet mutatni fizikai vagy geometriai példákkal, és biztos vagyok benne, hogy megérted.