(A az 5-en plusz B az 5-en) törve (A+B) Hogyan kell kiszámítani?

A sárga könyv III. fejezet 51-52. feladatának azonossága alapján:

A^5 + B^5 = (A + B)*(A^4 – A^3*B + A^2*B^2 – A*B^3 + B^4).

Így a törted egyszerűsíthető A + B-vel. Csak a továbbiakban is figyelni kell majd, hogy A + B ≠ 0, mert az eredeti kifejezésben sem lehetett ennyi.

De ha esetleg ezt az összefüggést nem tudod, akkor anélkül is megy; tudjuk, hogyha (A+B)^5 lenne a számlálóban, akkor tudnánk egyszerűsíteni, és akkor (A+B)^4 lenne az eredmény. Bontsuk ki a fentit (érdemes a binomiális képlettel számolni, az gyorsabb):

(A+B)^5=A^5+5*A^4*B+10*A^3*B^2+5*A^4*B+B^5

A számlálóban van A^5 és B^5, ezért a közbülső tagokat adjuk hozzá a számlálóhoz, de mivel megváltozna a tört értéke, ezért gyorsan vonjuk is ki:

A^5+B^5+(5*A^4*B+10*A^3*B^2+5*A^4*B)-(5*A^4*B+10*A^3*B^2+5*A^4*B), kicsit átvariáljuk a tagokat:

(A^5+5*A^4*B+10*A^3*B^2+5*A^4*B+B^5)-(5*A^4*B+10*A^3*B^2+5*A^4*B)

Az első zárójelben lévő tag fentről ismerős lehet, ezért így átírhatjuk:

(A+B)^5-(+5*A^4*B+10*A^3*B^2+5*A^4*B) lesz a tört számlálója. Tehát a tört:

((A+B)^5-(+5*A^4*B+10*A^3*B^2+5*A^4*B))/(A+B)

A törtek kivonásánál tanultak alapján ezt a törtet szét tudjuk így bontani:

(A+B)^5/(A+B)-(5*A^4*B+10*A^3*B^2+5*A^4*B)/(A+B)

Az első törtön el tudjuk végezni az osztást, ott (A+B)^4 lesz az eredmény. A másik törttel ugyanezt a metódust végig tudjuk játszani, és így tovább, amíg valami c*(A+B)/(A+B) alakú dolog nem marad. Persze ez sokkal hosszadalmasabb, mint a fent említett képlettel, de a képletek azért vannak, hogy megkönnyítsék az életünket.