2 térbeli vektorra merőleges vektor meghatározása?

A feltett kérdés ellentmondásos!

Általános esetben két térbeli vektor nem feszít ki síkot, csak akkor ha egysikúak.

Ha egysikúak, akkor tényleg vektori-szorzatból lehet számolni.

Na de ha nem egysíkúak? Mert mondjuk kitérők?! Akkor teljesen más a helyzet és be szokták vezetni a normáltranszverzális fogalmát.

De ez hosszabb történet és nem tudom, kell-e ez neked...

> „A feltett kérdés ellentmondásos!”

Nem. Illetve annyi diszkussziót esetleg érdemes tenni a zárójeles („Más szóval…”) részhez, hogy ha a két vektor párhuzamos, akkor végtelen sok síkot fektethetünk rájuk, ezt meg abból látjuk, hogy a vektoriális szorzatuk a nullvektor. Ha meg úgy párhuzamosak, hogy mindkettő a nullvektor, akkor teljesen tetszőleges síkok is megfelelnek.

> „Általános esetben két térbeli vektor nem feszít ki síkot, csak akkor ha egysikúak.”

Senki nem mondta, hogy kötött vektorokról van szó, márpedig általában nem azokról van szó, így a vektorok nem tudnak kitérőek lenni, ugyanis egy vektoron irányított szakaszok ekvivalenciaosztályát értjük, ilyen irányított szakaszt meg bármilyen kezdőponttal választhatunk. (Másrészt a főkérdésben még nem volt szó síkról.)

> „Na de ha nem egysíkúak? Mert mondjuk kitérők?!”

Na, ilyet a nem kötött (tehát „rendes”) vektorok a fentiek miatt nem tudnak csinálni.

> „Akkor teljesen más a helyzet és be szokták vezetni a normáltranszverzális fogalmát.”

Annyira nem más a helyzet, mert ha két kitérő egyenes irányvektorát vektoriálisan összeszorzod, akkor pont olyan egyenesek irányvektorát kapod, amik mind a két egyenesre merőlegesek, tehát kötött vektorok esetén is a vektoriális szorzat adja a 2 vektorra merőleges vektort (lásd még mindig a főkérdést, amiben még nincsenek síkok).

> „De ez hosszabb történet és nem tudom, kell-e ez neked...”

Olyan hosszú történet, hogy feleannyi leírni, mint a te okoskodásodat, és tized annyi, mint azt kijavítani:

Az olyan egyenesek közül, amelyek mindkét egyenesre merőlegesek (tehát az irányvektoruk a két egyenes irányvektorának vektoriális szorzata), azt, amelyik mind a két eredeti egyenest metszi, az a normáltranszverzálisnak nevezzük.

Köszönöm a kiegészítést, akkor úgy látszik, félreértettük egymást, mert én valóban kötött vektorokra gondoltam.

Szabad vektorokra nyílván igaz, amit mondasz.

A normáltranszverzálist pedig nyílvánvalóan megkapjuk a keresztszorzatból, ez nem meglepő.

Mondjuk ha a szakasz hosszára vagyunk kiváncsiak (mert ugye a normáltranszverzális nemcsak egy egyenest jelenthet, bizonyos szakirodalmak uis. magát a szakaszt nevezik normáltranszverzálisnak), akkor még le kell normálni.

Mellesleg ez utóbbi feladat szélsőértékproblémaként is kezelhető, ezért írtam, hogy ez hosszú és messze vezet.

Sőt általánosítok: Legyen két tetszőleges térgörbe, melyek hossza véges. Keressük azt a felületet, amely összeköti a két görbét, de felülete minimális.

Ez a normáltranszverzálisnak egy lehetséges kiterjesztése, ami pedig funkcionálok extremum-keresésére vezető feladat, így variációszámítással kezelhető. De mondom hogy messze vezet ez, egészen akár az Euler-Lagrange egyenletig, ami persze egy parciális diffegyenlet-rendszer...

Na jó, nem folytatom, mert az egy dolog, hogy én értem mit írok, de a kérdezőnek ez már nem kell...

A kérdés ez volt:

"2 térbeli vektorra merőleges vektor meghatározása?

(Más szóval az általuk kifeszített sík normálvektora kéne)"

A második sora csak akkor értelmes, ha a két vektor nem térben fix kezdőpontú, tehát egymásra (közös kezdőpontba, végpontba, metszésbe stb.) tolható, vagy fix de alapból NEM kitérő, hanem közös síkban van.

Szóval szerintem a kitérő fix vektorok esetét kihagyhatjuk.