Matematikai feladat?

Tudjuk, hogy 100!=100*99*98*97*...*3*2*1. Meg kell nézni, hogy ezek között hány 3-mal osztható van, és azok hányszor oszthatóak 3-mal:

3 -> 1

6 -> 1

9 -> 2

12 -> 1

15 -> 1

18 -> 2

21 -> 1

24 -> 1

27 -> 3

30 -> 1

33 -> 1

36 -> 2

39 -> 1

42 -> 1

45 -> 2

48 -> 1

51 -> 1

54 -> 3

57 -> 1

60 -> 1

63 -> 2

66 -> 1

69 -> 1

72 -> 2

75 -> 1

78 -> 1

81 -> 4

84 -> 1

87 -> 1

90 -> 2

93 -> 1

96 -> 1

99 -> 2

Ezeket összeadjuk: 48 darab 3-as szorzó van 100!-ban, tehát 48-szor osztható 3-mal, vagyis 3 48. hatványával osztható maximálisan (értelemszerűen a 0., 1., 2., ..., 47. hatványával is osztható lesz).

Igen, így van, ahogy előző leírta. Egy kicsit más megoldás a következő, bár az elve ugyanaz.

100! definíció szerint az első 100 természetes szám szorzata. Ezek közül nyilvánvaló, hogy:

- [100/3]=33 db 3-mal;

- [33/3]=11 db 9-cel is;

- [11/3]=3 db 27-tel is;

- [3/3]=1 db 81-gyel is oszható.

33+11+3+1=48. Mivel a faktoriális egy szorzat, a kitevők összeadódnak. Így 100! osztható 3^48-nal. A fentiekben a [] az egészrészt jelöli.