20 rabot körbe állítanak. Az egyik rab kezébe adnak egy kardot, hogy ölje meg a bal oldali szomszédját, és aztán adja tovább balra a kardot, és ez így folytatódik tovább, amíg egy rab marad, akit szabadon engednek. Hány rab éli túl a vérengzést?

Nézd: ez nem egy Nobel-díjas feladat.

Körben állnak, egy ponton elindul az öldöklés.

Ez szépen körbemegy, és akkor áll meg, amikor elfogynak a leölhető emberek. Nyilván az utolsó nem dől bele a saját kardjába.

Rájössz, hogy ki ez az utolsó?

Hát… A CIA-s kínzási botrányt figyelembe véve nem olyan meglepő feladat…

Másrészt biztos, hogy Bolyai verseny? Csak mert annak elég könnyű megtalálni a feladatait és megoldókulcsát (Google harmadik találat a 'bolyai verseny 2004' keresésre):

[link]

Viszont itt se a 2004-es, se a 2005-ös, se a 2007-es feladatok között nem szerepel ez.

_0 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

_0 _+ _2 _+ _4 _+ _6 _+ _8 _+ 10 _+ 12 _+ 14 _+ 16 _+ 18 _+

_0 __ _+ __ _4 __ _+ __ _8 __ _+ __ 12 __ _+ __ 16 __ _+ __

_0 __ __ __ _+ __ __ __ _8 __ __ __ _+ __ __ __ 16 __ __ __

_+ __ __ __ __ __ __ __ _8 __ __ __ __ __ __ __ _+ __ __ __

Kicsit így is eltorzítja a spamszűrő, ha kijelölöd és kimásolod egy sima Notepad-be vagy Gedit-be, akkor szépen egymás alá kerül, ami egymás alá való.

A plusz jel ,,+'' jelzi az adott körben éppen meghaltakat.

Azt az embert, akinek a kezéből indul a kard, 0-s sorszámmal jelölöm. Tehát 0-tól 19-ig sorszámozódnak az emberek (összesen 20-an vannak).

Az indulás előtt mindenki él, az emberek közt nincs rés, 1-esével állnak az emberek.

Az első körben meghalnak a páros sorszámúak, az emberek közti ,,távolság'' megnő, mert lyukak lesznek, az emberek 2-esével sorszámozódnak (mindenki új szomszédja a 2-vel nagyobb sorszámú lesz). A kard továbbra is a 0-s sorszámú emberhez kerül vissza. Összesen 10-en maradnak életben (a párosak).

A 2. körben meghalnak a 4-gyel nem oszthatóak, az emberek immár 4-esével állnak (ezt úgy értem, mindenki után a nála 4-gyel nagyobb sorszámú következik), a kard újra a 0-s kezébe kerül vissza. Összesen 5-en maradnak életben (a néggyel oszthatóak).

Most némi újdonság áll be: az emberek összlétszáma most lett először páratlan szám. ez azzal a szomorú fejleménnyel jár, hogy a 0-s sorszámú ember, aki eddig szerencsésen rendre élte túl a köröket, és mindig az ő kezébe került vissza újra a kard, ez alkalommal nem kapja vissza a kardot, hanem meghal, tehát az új kezdő emberke nem ő lesz immár, hanem a 8-as. Az emberek 8-asával állnak, az összlétszám pedig 2 (életben maradtak a 8-cal oszthatóak).

Mivel immár ketten maradtak életben, továbbra is az előbbi túlélő, a 8-as kezébe kerül vissza a kard, társa pedig meghal.

Megoldás tehát: a kezdő emberkétől balra álló 9-edik ember a túlélő (azért a 9-ik, mert a természetes nyelvben 1-től szoktunk sorszámozni, nem 0-tól).

. - . -. - . - . -- .. - . -. - . - . -- .. - . -. - . - . -- .

Néhány szabály:

Ha páros a létszám, akkor minden egyes kör végeztével ugyanannak az embernek a kezébe kerül vissza a kard, akiéből az adott kör elején elindult.

Minden egyes kör során valamilyen 2-hatvány sorszámúak a túlélők. Ez persze minden egyes körnél eggyel nagyobb kitevőjű 2-hatvány, tehát egyre ritkásabban állnak az emberek.

Ha páratlan létszámúak az emberek, akkor a következő kör elején az adott kört indító ember nem lesz újra körindító, hanem meghal, és az épp aktuális balszomszédja lesz az új körindító. Az, hogy ez bizonyos épp aktuális balszomszéd mennyi sorszámmal áll balra tőle, ez persze attól függ, hogy hányadik körről van szó, melyik 2-hatvány szerint folyik éppen a ,,tizedelés'' (pontosabban ,,kettedelés'').

Ez szerintem valami érdekes számelméleti példa lehet eredetileg, és ez igazából ennek a kis számokra adaptált gyakorlatias, próbálgatós változata, az eredeti általános feladat szerintem valami számrendszerek vagy oszthatóság témakörébe való, és egy általános megoldás alapján akár képletbe is foglalható megoldást lehetne adni rá. Persze így kis számmal, mint a 20-szal nem kell minden elméleti szálát felfejteni a témának.

Az általános megoldás biztos valami szép dolog, most nem tudnám leírni, mert nem ismerem, de valahogy így kezdenék neki:

1-ső kör:

20 ember eredetileg, indít a 0-s, minden 2-ik fog túlélni (a párosok), feleződés, maradnak 10-en, 2-esével állnak

2-ikkör:

10 ember páros szám, túlélt a 0-ás és újra ő indít, túlélnek a 4-gyel oszthatóak, újra feleződnek és maradnak 5-en, 4-esével állnak

3-ik kör:

5 ember páratlan szám, körindító a 0-ás, de ezt a kört nem fogja túlélni (épp a páratlan létszám miatt), ebben az új körben már 8-asával állnak (túlélők a 8-cal oszthatóak).

3-ik kör:

Mindjárt a kör elején meghal a 0-s (az előző kör utolsója öli meg, a páratlan létszám miatt). Így a létszám rögtön a kör legelején 2-re csökken, a tulajdonképpen körindító tehát a 8-as lesz (hiszen az előző kör végére már 8-asával álltak). A kör során a túlélők a 8-tól eltolva számított 16-tal oszthatóak élnék túl a menetet, ez azt jelenti, hogy a 16-os meghal (hiszen a 8-astól eltolva számítva ő a 8-ik). Egyetlen túlélő tehát a 8-as marad.

Ezt valahogy meg lehetne fogalmazni pontosan képletszerűen is, hogy akárhány emberre gyorsan megoldható legyen. Minden egyes helyzetet szerintem három szám jellemez: az adott körbeli létszám, az adott körben érvényes kettő-hatvány, és az adott kör indítósorszáma).

Tehát: 20 emberrrel indítunk, elején még 1-esével állnak, és a 0-s ember indítja a kört:

(20; 2⁰; 0) ---> (10; 2¹; 0)

(10; 2¹; 0) ---> ( 5; 2²; 0)

( 5; 2²; 0) ---> ( 2; 2³; 8)

( 2; 2³; 8) ---> ( 1; 2⁴; 8)

és maradt 1 ember, 16-osával állnának (elvileg, ha lenne még kör), és a 8-as sorszámú nyitná az új kört (de már nem kell, mert elengedik)