Segítség matekházi! 2 db hétszög oldalainak legfeljebb hány metszéspontja lehet?

Hmm…

Mondjuk legyen egy meglévő hétszög. Jelöljünk ki egy A pontot, és kezdjünk rajzolni. Ha az A pont kívül van a hétszögön, akkor az abból húzott egyenes metszheti a meglévő hétszögünk egy vagy több oldalát. De egy metszéspont azt jelenti, hogy a vonal kilép, illetve belép a meglévő hétszögbe. Ergo csak páros számú metszéspont lehetséges, hiszen vissza kell térnünk a megfelelő oldalra (kívülre), hogy zárt legyen a második hétszögünk. Ha belül vesszük fel az A pontot, akkor is ez a helyzet.

Ezzel első nekifutásra kizárhatjuk azt, hogy minden oldal minden oldallal alkot metszéspontot, hiszen az 7*7 = 49 metszéspont lenne. (Ugye egy-egy oldalpárnak csak egy metszéspontja lehet, hiszen két egyenesnek is csak maximum egy metszéspontja van.)

Innen még tovább kellene gondolnom…

Oké. További finomítás. Egy egyenesnek – hasonlóan a fenti logikához – egy konvex hétszöggel csak páros számú metszéspontja lehet. Így az egyik háromszög minden oldalára elmondható, hogy a másik háromszögnek maximum 6 oldalával lehet metszéspontja. Így a felső határ: 7*6 = 42.

Tehát addig eljutottunk, hogy a keresett érték 36 és 42 között van valahol.