Egy sokszög oldalainak számát megkétszerezzük. Melyek azok a sokszögek, melyek esetén az új sokszög szögeinek összege egész számú többszöröse az eredeti sokszög szögei szögei?

Egy n oldalú sokszög szögeinek összege (fokban): 180*(n‒2)

Ha a sokszög oldalainak számát megkettőzöd, akkor a szögeinek összege 180*(2n-2) lesz.

Az, hogy az új sokszög szögeinek összege egész számú többszöröse az eredeti szokszög szögeinek összegével annyit jelent, hogy a

180*(2n-2) / 180(n-2) tört 1-nél nagyobb egész számot ad.

A törtet tudjuk egyszerűsíteni:

(2n-2)/(n-2) = (n+(n-2))/(n-2) = n/(n-2) + 1

Ez akkor egész, ha n egész számú többszöröse (n-2)-nek. Ezek az esetek:

n=3

n=4

(n>4 esetén ez a hányados 1 és 2 közötti nem egész számot ad.)

Háromszög esetén:

Az háromszög szögeinek összege 180 fok. A hatszög szögeinek összege 720 fok. Ez pont a négyszeres.

A négyszög szögeinek összege 360 fok. A nyolcszög szögeinek összege 1080 fok. Ez is pont a háromszorosa.

A nagyobb sokszögek esetén a szögek összege (n-2)*180. A dupla oldalszám esetén (2n-2)*180. A kettő aránya ((2n-2)*180) / ((n-2)*180) = (2n-2) / (n-2). Ha n a végtelen felé tart, akkor ez a hányados kettőhöz konvergál. Pl. egy 1000 oldalú sokszög esetén 998*180 a szögek összege, a dupla oldalszám esetén 1998*180. A kettő aránya 1998/998 = 2,002004…