Gyök alatt ugye nem lehet mínusz. Viszont ha pl. a köbgyök -8-at nézzük, annak lehetne megoldása a -2, hiszen (-2) * (-2) * (-2), az -8. Ugyan mért nem úgy szól a szabály, hogy "kivéve a pozitív gyökkitevőt"? Ennek köze lehet a komplex számokhoz?

Ez definíció kérdése. A négyzetgyököt úgy definiáljuk, hogy √x azt a nemnegatív számot jelenti, melynek négyzete x. √4 így ebben az esetben azt a nemnegatív számot jelenti, aminek négyzete 4, ami kizárólag a 2 lehet. A -2 nem 4-nek a négyzetgyöke, viszont megoldása az x^2 = 4 egyenletnek.

Hogy miért? Mert így célszerűbb a használata.

Negatív számnak a köbgyökét – illetve minden páratlan gyökét – lehet értelmezni, ha kiterjeszted a gyökvonás definícióját. Ezt nyugodtan meg lehet tenni, ha előtte egyértelműsíted az adott matematikai levezetések előtt, hogy mit értesz alatta.

Probléma ebben az esetben a tört hatványoknál kezdődik. Ugye a köbgyök -8-at lehet így is írni: (-8) ^ (1/3). Ez a tört kitevőjű hatvány definíciója tulajdonképpen.

Amúgy itt kezdődnek a gondok. Ugye x ^ (n/m) = m.gyök ( x^n ).

Azaz x ^ (1/3) = köbgyök( x^1 ) = köbgyök ( x ). Oké, legyen akkor (-8) ^ (1/3) = köbgyök (-8) = -2.

De mennyi x ^ (2/6)? Ugye 1/3 = 2/6, tehát ugyanannyinak kellene lennie.

De a fenti alapján:

x ^ (2/6) = hatodikgyök ( x^2 )

-8 esetén ez:

(-8) ^ (2/6) = hatodikgyök ( (-8)^2 ) = hatodikgyök (64) = 2

A gyök alatt pozitív szám lett, így a hatodik gyöke is pozitív.

Ez így nem egészen jó. Pont ezért nem egységes a matematika a negatív alapú tört hatvány esetén (ami egyenértékű a negatív szám gyökével). Lehet használni a gyök(-8) = -2 összefüggést, csak akkor pontosan le kell írni, hogy mit értünk alatta.

A komplex szám már kicsit más tészta. Ott konkrétan egy negatív szám *négyzet*gyökének értelmezéséből indul ki az egész.

páros gyök alatt csak pozitív szám lehet

páratlan gyök alatt lehet pozitív és negatív is.

pl.

2_gyök(-4) nem létezik a valós számok halmazán

3_gyök(-4) létezik a valós számok halmazán.

4_gyök(-4) szintén nem létezik, és így tovább.

.....

Komplex számok halmazán:

2_gyök(-4) = 2i, mert az i úgy van definiálva, hogy:

-1 = i²

Vagyis:

-4 = 4i², aminek a gyöke 2i

.....

Ne keverd a kettőt.