Matek, komplex számok. Ezt az egyenletet hogyan kell megoldani? : iz4 + (i -1) z2 = i^2012

Ez egy negyedfokú algebrai egyenlet, négy komplex gyöke van.

Az egyenlet megoldásához először hozd ilyen alakra:

z^4+(1+i)z^2+i=0

Aztán végezd el a következő helyettesítést: x=z^2

Ekkor az egyenlet a következő képpen alakul:

x^2+x(1+i)+i=0

Ez egy sima másodfokú egyenlet. Bontsd szorzattá a bal oldalt, azt kapod, hogy:

(x+i)(x+1)=0

Szorzat akkor és csak akkor nulla, ha vagy az egyik vagy a másik tagja nulla. Ebből:

x=-i és x=-1

Mivel x=z^2

z^2=-i -> z=-(-1)^3/4 vagy z=(-1)^3/4 vagy z=i vagy z=-i

Ez a négy komplex gyök, lehet őket ábrázolni satöbbi... remélem segített!

Valószínűleg az előző válaszoló elírt valamit; neki i^2012=i lett, pedig valójában 1. Ezt úgy a legkönnyebb belátni, hogy megnézzük a kitevő 4-es maradékát. Azért a 4-es maradékát, mert i-nek 4 hatványa van: i;-1;-i;1. Ezek periodikusan változnak. Ezt majd fogjátok tanulni, ha a komplex számok rendjét tanuljátok.

Tehát mivel 2012 4-es maradéka 0, ezért i^2012=1. Az egyenlet így néz ki: iz^4+(i-1)z^2-1=0. Ez z^2-ben másodfokú, érdemes átírni mondjuk a-ra (az átírást én mindig a-val szoktam csinálni): ia^2+(i-1)a-1=0

Másodfokú megoldóképletével:

a=(-i+1+gyök(i^2-2i+1+4i))/2i=(-i+1+gyök(2i))/2i). Később lesz jelentősége annak, hogy nem +- -t írtam a gyökjel elé.

Komplex számból a következő módon vonunk gyököt: tudjuk, hogy egy komplex szám gyöke is komplex, vagyis ilyen módon írható fel: c+di, ahol c és d valós, tehát:

gyök(2i)=c+di /négyzetre emelés

2i=c^2+2cdi-d^2 (azért -d^2, mert (di)^2=i^2*d^2 és i^2=-1).

Két komplex szám akkor és csak akkor egyenlő, ha a valós és a képzetes rész egyenlő. A valós rész az az, amiben nincs, a képzetes rész az, amelyikben van i, tehát:

I. 0=c^2-d^2}

II.2=2cd }

Kaptunk egy kétismeretlenes egyenletrendszert. II.-ból: c=1/d

I.-be visszahelyettesítve:

0=1/d^2-d^2 /*d^2

0=1-d^4

d=+-1 (ezeken kívül még lenne az i és a -i is, de d valós, ezért ezekkel nem foglalkozunk), ebből c=+-1

Tehát 2i gyökei: 1+i és -1-i

Most visszahelyettesítünk gyök(2i) helyére: a1=(-i+1+1+i)/2i)=1/i és a2=(-i+1-1-i)/2i=-1

Azért írtam az elején a gyökjel elé csak + jelet, hogy ne zavarjanak össze a gyökök, mert mivel 2 megoldás lett 2i-re, ezért lehet, hogy mindkettővel kétszer számoltál volna, egyszer kivontad volna, egyszer hozzáadtad volna. Igazából valós másodfokúnál is úgy csináljuk, hogy például gyök(25)+-5-nek kellene lennie, de ha ismered a másodfokú megoldóképlet levezetését, akkor érted, hogy hogyan került oda az a +-. De mivel gyök(25)=+5, ezért ez nem gond, ott csak kivonjuk meg hozzáadjuk a kapott gyököt, viszont itt a gyökvonás miatt 2 gyök jött ki. Megjegyzésként még leírom, hogy ha 25-re is elvégzed ilyen módon a gyökvonást, valóban kijön a +-5 (a 25 olyan komplex szám, ahol a képzetes rész 0).

Mivel a=z^2, ezért z^2=1/i és z^2=-1. Ennek a kiszámolását rád bízom, nem árt, ha gyakorlod egy kicsit a komplex gyökvonást. Remélem az előzőek alapján sikerülni fog!