A feladat : Mely valós számokra teljesülnek a következő egyenlőtlenségek?

Az abszolútérték azt adja meg, hogy milyen messze van egy szám a nullától. Definíciója:

x, ha x nemnegatív

-x, ha x negatív.

Grafikonja egy töröttvonal, aminek a negatív számokon -1, a pozitív számokon 1 a meredeksége.

Akkor a kérdések:

Állítás: -x abszolútértéke mindig megegyezik x abszolútértékével.

Ha x pozitív, akkor -x negatív, ezért a mínusz egyszerese lesz az abszolútértéke. -x mínusz egyszerese éppen x.

Ha x negatív, akkor abszolútértéke -x. -x abszolútértéke -x, mert -x pozitív.

Tehát az első egyenletnek nincs megoldása.

|2x-4|> ( vagy egyenlő) x-1

Csináljunk esetszétválasztást! Az esetek:

2x-4 > egyenlő 0 és 2x-4 < 0.

Innen kiszámítható, hogy x = 2 az esetek határa.

Ezeken a halmazokon külön-külön meg kell oldani az egyenletet.

Ha x >= 2:

2x-4 >= x-1

x-4 >= -1

x >= 3

Ha x < 2:

-(2x-4) >= x-1

-2x+4 >= x-1

4 >= 3x - 1

5 >= 3x

5/3 >= x

Tehát ha x >= 2, akkor x >= 3. Ha x < 2, akkor x <= 5/3.

Másként, x >=2 és x > 3, vagy x < 2 és x <= 5/3. Elhagyva a redundáns feltételeket kapjuk, hogy x > 3 vagy x <= 5/3.