Mennyi 64 négyzetgyöke?

Mit nem lehet ezen érteni?

A négyzetgyök egy függvény, amely bizonyos (jelen esetben a nemnegatív) "a" számhoz egyetlen értéket rendel (jelen esetben azt a nemnegatív x-et, amelyre x*x=a, ilyen x-ből pontosan egy van, tehát ez egy helyes függvénydefiníció.)

Az x*x = a pedig egy egyenlet, aminek két megoldása van, az egyik az "a" szám négyzetgyöke, a másik pedig annak az ellentettje. Amennyiben a=0, ez a két megoldás egybeesik.

A tanult kollégák itt azon rugóznak, hogy amikor valaki megkérdezi, hogy "mennyi x négyzetgyöke", akkor ilyenkor a négyzetgyökfüggvény értéke-e a kérdés, vagy pedig az(ok) a szám(ok), amely(ek)et négyzetre emelve x-et kapunk.

Ehhez bőszen hivatkoznak a magyar Wikipédiára, amely mint tudjuk, a legtöbb tudományos kérdésben erősen kérdéses és hiányos. Ezért én az angol Wikipédiát idézném, ami nekem valamivel hitelesebb:

"In mathematics, a square root of a number a is a number y such that y^2 = a, or, in other words, a number y whose square (the result of multiplying the number by itself, or y × y) is a.[1] For example, 4 and -4 are square roots of 16 because 4^2 = (-4)^2 = 16.

Every positive number a has two square roots: sqrt(a), which is positive, and -sqrt(a), which is negative"

Gyengébbek kedvéért magyarul:

"A matematikában egy "a" szám négyzetgyöke az az "y" szám, amelyre igaz, hogy y^2=a, vagy más szóval azaz y szám, amelynek négyzete "a". Például 16 négyzetgyöke 4 és -4, mert 4^2 = (-4)^2 = 16.

Minden pozitív számnak két négyzetgyöke van, gyök(a), amely pozitív, és -gyök(a), amely negatív.

Az akkor vicces, mert az angol wiki ritkábban pontatlan a magyarnál... de hát ez van. Az angol wiki egy könyvre hivatkozik, ahol ugyanebben a mondatban egy zárójeles rész:

"To be exact, a square root of a nonnegative number a is a nonnegative number whose square is equal to a."

Kérdező!

Bocsi, hogy ideológiai háborút csináltunk a problémádból. A lényeg: 64 négyzetgyöke 8, mert 8 * 8 = 64.

A legtöbb számnak viszont nem egész a négyzetgyöke, pl. a 2 négyzetgyöke kb. 1.414, végtelen tizedestört alak.

Az ideológia vita jelen pillanatban nem lényegtelen a válasz szempontjából, magyarán, hogy 64-nek négyzetgyöke-e a -8.

Nagyon egyszerű. A matekórán úgy tanítják, hogy a négyzetgyök csak a pozitív gyököt jelenti. Ezt nem lehet tovább ragozni. És tényleg általában a valós számok körében definiált négyzetgyök ezt jelenti. Mint ahogy a negatív számból nem lehet gyököt vonni kijelentés is csak valós számokra igaz.

Pl. ezt támasztja alá a másodfokú egyenlet megoldóképlete is:

x₁,₂ = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a

Ha a négyzetgyök a negatív gyököt is jelentené, akkor semmi szükség nem lenne a ± jelre, sőt értelmetlenné válna a ± jel használata.

Annak az oka, hogy a négyzetgyököt úgy definiálják, hogy az csak a pozitív gyököt jelentse, szerintem gyakorlati haszna van. Egy csomó esetben kell számolni olyan számokkal mondjuk a fizikában, ahol az adott szám ismeretlen, és a négyzeten van. Az adott fizikai tulajdonság meg jellegéből fakadóan nemnegatív. Pl. ha két test tömege ismert, meg a kettő közötti gravitációs vonzóerő, akkor a távolságukat ki lehet számolni. A felírt képletben lesz gyökvonás:

F = G * m₁ * m₂ / r²

r = √(G * m₁ * m₂ / F)

Ha a négyzetgyök alatt mindkét gyököt értenénk, akkor itt jöhetne a magyarázkodás, hogy ugye a távolság csak pozitív lehet, stb…

Avagy: r = |√(G * m₁ * m₂ / F)|

Sokkal egyszerűbb azt mondani, hogy a négyzetgyök mindig a pozitív gyök, és mikor kivételesen a negatív gyök is kell, akkor odadobni a ± jelet.

[link] valóban a négyzetgyök lehet pozitív és negatív ámde "In common usage, unless otherwise specified, "the" square root is generally taken to mean the principal square root."

Tehát, hacsak másképpen nem jelöljük "a" négyzetgyök az az elsődleges (azaz nemnegatív) négyzetgyök. Tehát, 64-nek a négyzetgyöke az 8.

#16: Hát az angol Wikipédia ezek szerint egyébként nem konzekvens.

[link]

Itt is ± van a másodfokú egyenlet megoldóképletében. Sőt tovább tetézi a dolgot, mikor utána leírja a képletet + √… és - √… formában.

Ha valóban az lenne, hogy a négyzetgyök nem számot, hanem két különböző gyököt jelent, akkor a ± jel felesleges, értelmezhetetlen lenne.

Továbbá:

[link]

The notation we use for square roots are:

√x is the positive square root and

-√x is the negative square root.

[link]

Itt sincs szó negatív gyökről. Ha a négyzetgyök negatív is lehetne, akkor nem √2 -vel kellene jelölni, hanem annak az abszolút értékével: |√2|

Továbbá:

[link]

„Die Quadratwurzel (umgangssprachlich Wurzel; englisch square root, kurz sqrt) einer nichtnegativen Zahl ist jene (eindeutig bestimmte) nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl ist.”

Azt ne mond, hogy a német oktatás is le van maradva. :-)

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Én gyanítom egyébként, hogy lehetnek nemzeti különbségek a matematika nyelvezetében. Valószínű mi – amúgy talán érthető okokból – a német terminológiát vettük át. Amit mi négyzetgyöknek hívunk, az az angol „ principal square root” megfelelője. Amit mi a „x² = n” egyenlet „(valós) gyökeinek” hívunk, az az angol „suare root” megfelelője.

Nem ez lenne az egyetlen különbség a matematika területén. Lásd: Amit mi millárdnak hívunk, az az angolban billon, amit mi billónak hívunk, az az angolban trillion.

Viszont mi Magyarországon élünk, magyarok vagyunk, ezért azt a terminológiát kell használni, ami nálunk hivatalos. Nálunk – és még több országban, többek között a fent emlegetett Németországban – a négyzetgyök definíció szerint pozitív. Ezzel lehet egyetérteni, meg nem egyetérteni, de *tény*, hogy így van. Ha te Angilában, USA-ban tanultál általános iskolában matekot, akkor bizony az ott használt terminológiát át kell fordítani az itteni terminológiára. Ha a magyar definícióval nem értesz egyet, akkor tessék reklamálni mondjuk az MTA-nál, de amíg nem fogadják el a reklamációdat, addig ha nem gond, mi továbbra is az itt elfogadott definíció szerint fogjuk használni a négyzetgyök fogalmát.

Lásd még:

[link]

„Egy nemnegatív valós szám négyzetgyöke az a nemnegatív valós szám, amelynek a négyzete az eredeti szám.”

[link]

„Egy a nemnegatív valós szám négyzetgyöke az a nemnegatív szám, amelynek a négyzete a.”

[link]

[link]

[link]

[link]

[link]

„Definíció: Ha a ≥ 0 , akkor √a jelöli azt a nemnegatív számot, amelynek a négyzete a.”

[link]

„Definíció szerint: Négyzetgyök a jelenti azt a nem negatív valós számot, melynek négyzete a.”

Nem folytatnám…