Hány olyan pont van a síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben, amelynek mindkét koordinátája pozitív egész szám, és a koordináták összege 45, a szorzata pedig osztható 45-tel?

Szia.

A kérdés magyarra fordítva: Keresünk két számot aminek az összege 45 a szorzata a 45 többszöröse. Nevezzük a két számot x-nek és y-nak.

x+y=45 és x*y=45*p.

Ez a p egy paraméter. Ez úgy jött oda, hogy a két szorzat a 45nek töbszöröse azaz valahányszor 45. ez a valahány a p. Annyit tudunk róla, hogy egész szám. Úgy csinálunk, mintha a p helyén egy számot látnánk.

Tehát van egy egyenletrendszerünk:

x+y = 45

x*y = 45*p

Innentől nincs más dolgunk, mint megoldani az egyenletrendszert. Kifejezzük az első egyenletből y-ont. Azaz: x+y = 45. Elveszünk mindkét oldalból y-t. Így: X = 45-y. Ezt behelyettesítjük a második egyenletbe. x*y = 45*p. Behelyettesítve x-et y helyére: x*(45-y)=45*p.

Rendezzük az egyenletet.

x*(45-x)=45*p

Bontsuk fel a zárójelet.

x*45 - x*x = 45*p

Ekkor már láthatjuk, hogy egy másodfokú egyenletet fogunk kapni ahol x*x a másod fokú tag, x*45 az első fokú tag és 45*p a nullad fokú tag. Rendezzük nullára az egyenletet.

Ekkor: (-x)*x + x*45 - 45*p = 0

Ehhez kiváló segédeszköz lesz a másodfokú egyenlet megoldóképlete. Nem írom le mert a klaviatúrán nincs négyzetgyökjel. A lényeg, hogy ha jól helyettesítünk be akkor a négyzetgyökjel alatt ennek kell lennie:

(-45)*(-45) - 4*1*45*p

A p az a p amit a második egyenletbe jobb híjján beleraktunk, amiről csak azt tudjuk, hogy egész szám. Tehát: ha jól helyettesítünk be a másodfokú egyenlet megoldóképletébe, akkor a négyzetgyökjel alatt ezt kapjuk:

(-45)*(-45) - 4*1*45*p

Mivel ez négyzetgyökjel alatt van azért ezen kifejezés végeregményének mindenképp nagyobbnak, vagy legalább egyenlőnek kell lennie nullával. Mert ugye negatív számnak nincs négyzetgyöke, így ha negatív szám van a náégyzetgyökjel alatt, akkor nincs megoldása az egyenletnek.

Tehát:

(-45)*(-45) - 4*1*45*p >= 0

Nézzük meg mi lesz, ha egyenlő nullával a kifejezésünk.

(-45)*(-45) - 4*1*45*p = 0.

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy P=11,25. (tizenegyegészhuszonötszázad és NEM ezeregyszázhuszonöt.)

Tehát ahhoz, hogy egyenlő legyen nullával a kifejezésünk, ahhoz p=11,25 és ahhoz hogy a kifejezés nagyobb legyen mint nulla az kell hogy p kisebb legyen mint 11,25. Tehát p<11,25 és azt is tudjuk hogy egész szám. Így p lehet 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.

(0 és negatív szám nem lehet mert 0*p= 0. Már pedig a két koordináta egyike sem lehet nulla mert mindkettő pozitív egész szám és két pozitív egész szám szorzata soha nem 0. Ugyan így két pozitív egész szám szorzata negatív sem lehet sosem, így p-nek mindenképp pozitívnak kell lennie mert különben 45*p az negatív lenne vagy nulla.)

tehát P = 1 vagy 2 vagy 3 vagy 4 vagy 5 vagy 6 vagy 7 vagy 8 vagy 9 vagy 10 vagy 11.

Innentől nincs más dolgunk mint az előbb forszírozott kifejezésbe visszahelyettesíteni p-t mind a tizenegyszer.

pl ha p= 1

(-45)* (-45) - 4*1*45*1

Ezt kiszámolva 1845 öt kapunk. Ennek a négyzetgyöke nem egész szám így ezt kizárhatjuk, mert ha a négyzetgyökvonás után nem egész számot kapunk, akkor a másodfokú egyelnet megoldóképletének végeredménye sem lesz pozitív. De. Ez a végeredmény lesz az x koordinántánk. Az az x amihez hozzáadva y-t, 45-öt kapunk. Tehát ha p behelyettesításe után kapott számból négyzetgyököt vonva nem egészet kapunk akkor azt hagyjuk a fenébe. Ha egészet kapunk akkor fejezzük be vele a megoldóképletet és megkapjuk x-et. azt meg már az első egyenletből is tudjuk, hogy y = 45-x.

Nem számoltam végig. nem tudom mennyi a megoldás.

Összefoglalva:

A fenti kérdés a X+Y = 45 és X*Y = 45*P paraméteres egyenletrendszer megoldásainak számára kíváncsi. Az első egyenletből kifejezzük y-t, behelyettesítjük a második egyenletbe és ha mindent jól csináltunk, az alábbi másodfokú egyenletet kell kapnunk:

(-x)*(-x) + 45*x - 45*p = 0, ahol x az x koordináta p pedig egy egész szám.

Vesszük a másodfokú egyenlet megoldóképletét.(ami minden valamire való függvénytáblában benne van de a neten is rákereshetünk) A behelyettesítés után kapott cuccból kiragadjuk a négyzetgyökjel alatti részt, mert annak pozitívnak kell lennie de minimum nullának. Ezt a kifejezést egyenlővé tesszük nullával. Ha mindent jól csináltunk ezt kapjuk:

(-45)*(-45) - 4*1*45*p = 0

(Igazából (-45)*(-45) - 4*(-1)*(-45*p) - t kapunk de ezt rendezve a fenti kifejezéshez jutunk.)

Ha megoldottuk az egyenletet akkor P=11,25 öt kapunk. Ebből és a feladat kiírásából látható, hogy p egy 11,25-nál kisebb pozitív egész szám. ( p-nek egésznek kell lennie, mert ha nem lenne egész akkor p*45 nem lenne osztható 45-tel.)

Tehát a négyzetgyökjel alól kiragadott kifejezésbe behelyettesítünk p helyére 1-et, 2-t, 3-t, 4-et egész 11-ig. ( A 11-et is.) Kapunk egy számot amiből négyzetgyököt vonunk. Ha egész számot kapunk a négyzetgyökvonás után akkor azt behelyettesítjük a megoldóképletbe a négyzetgyökjel és az az alatti dolgok helyére és végigszámoljuk vele a képletet. Az eredményünk lesz az x koordináta. Y=45-x -et felhasználva kiszámoljuk az y-t és volilá van egy számpárunk ami megfelel a feladat követelményeinek. Számoljuk meg hány ilyen számpárt kapunk és megkapjuk a megoldást.

Házifeladat: Számold ki az egész feladatot mégegyszer úgy, hogy most az x-et fejezed ki az első egyenletünkből azaz a második egyenletbe X = 45-y-t helyettesítesz be.