Hogy kell törtel osztani, szorozni, öszeadni, kivonni?

Összadás, kivonás: közös nevezőre kell hozni.

Szorzás: számlálót a számlálóval, nevezőt a nevezővel kell szorozni.

Osztás: az osztó reciprokával kell szorozni.

Részletekért javaslom a matekkönyvet.

A válaszom kicsit hosszúnak tűnik. Nem fogom megadni a „receptet”, amit aztán elfelejthetsz. Viszont ha rászánod azt az 5-10 percet, akkor talán egy örök életre megjegyzed, mert nem csak megtanulod, hanem meg is érted. (Persze lehet, hogy nem, de azért tegyünk rá egy kísérletet.)

Azt kell jól megérteni, hogy ezek nem pusztán dobálózások számokkal, meg műveleti jelekkel, hanem valódi tartalom, tényleges történés áll mögöttük. Az, hogy „tortákról” és egyéb dolgokról beszélnek, az nem pusztán valami hóbort, hanem azt segíti, hogy megértsd az egyes műveletek mögötti tényleges történéseket.

Összeadás:

Mit is jelent egy egyszerű tört, mondjuk az 1/3? Azt, hogy ha egy egész tortát veszel egynek, akkor az 1/3 ennek a harmada. A 2/3 meg azt jelenti, hogy ebből az 1/3-ból kettő darabot kell venni. Tehát mondjuk az 5/12 annyit tesz, hogy 5 darab olyan tortaszelet van, ami egy 12 részre vágott tortából való. Ezért hívják számlálónak a felső részt, hiszen az adja meg a szeletek számát.

Mit lehet összeadni? Azt, aminél az összeadandók ugyanazt a dolgot jelentik. 5 körte + 2 körte = 7 körte. A körte szó leírogatásától eltekint a matematika, de lényegében kell oda tenni valamiféle elképzelhető dolgot. 5 körte + 2 alma az mennyi? 7 gyümölcs. Mit kellett csinálni? Annyit, hogy az almát is körtét is gyümölcsnek tekintettük, így azonos dolgokról beszélünk a továbbiakban. De menni 3 nap + 2 méter? Na ezt nem lehet összeadni. Mert oké, hogy 5, de 5 micsoda?

Tehát azt lehet összeadni, aminél az összeadandók dolgot képviselnek.

Mennyi tehát 1/4 + 2/3 ? Hát nem azonos dolgokról van szó, az egyik tortaszelet nagyobb – függetlenül attól, hogy több is van belőle –, a másik meg kisebb. Mit kell csinálni? Ugye egy törtnél ha a számlálót és a nevezőt is megszorzod egy értékkel, akkor ugyanannyit kapsz. Pl. ha harmadolyan vékony tortából háromszor annyid van, akkor az méretre, súlyra ugyanazt jelenti. (Ha van egy fél pizzád, az pontosan ugyanaz, mintha lenne 2 darab negyed pizzád, vagy 3 darab hatod pizzád.)

Tehát át lehet alakítani az 1/4-et és a 2/3-ot is úgy, hogy végül a tortaszeletek ugyanakkorák legyenek. 1/4 = 3/12, illetve 2/3 = 8/12. Remek! Most már azonos méretű dolgokról beszélünk van. 3 darab az 12 részre osztott tortából, meg van 8 darab a 12 részre osztott tortából. Az összeadandók azonos dolgok, így simán összeadom, hogy ezek szerint van 3+8 (összesen 11) darabom a 12 részre osztott tortából, azaz (3+8)/12 = 11/12.

Ezt hívják úgy, hogy közös nevezőre hozás.

Kivonás: Ugyanez, csak kivonással. Ha van 2/3 tortád, azaz két darabod a három részre vágott tortából, abból aligha fogsz negyedrésznyit átadni valakinek anélkül, hogy kés lenne nálad. Itt is ugyanazt kell csinálni mint összeadásnál. Ha 2/3 tortám van, az pontosan olyan, mintha 8/12 tortám lenne. A tizenkét részre vágott tortából 3 darab ad ki akkorát mint egy négy részre vágott torta szelete, így 2/3 - 1/4 = 8/12 - 3/12 = 5/12

Szorzás:

Itt többféleképpen lehet elképzelni a dolgot. A legegyszerűbb, ha egy törtet egész számmal szorzunk. 5 * 2/3 esetén arról van szó, hogy van egy háromfelé vágott tortánk, amiből két szelettel rendelkezünk. No ezt kell megszorozni 5-el, mintha 5 torta lenne és mindegyikből megkapnánk a 2/3 részt. Tehát 5 * (2 darab a harmadolt tortából), az egyenlő lesz 10 darab a harmadolt tortából. Mivel a darabszámot szorozzuk meg, ezért a számlálót kell szorozni: 5 * (2/3) = (5*2)/3 = 10/3.

Osztás:

Egész osztása törttel. Ez az a művelet, ami nem létezik. Mit jelent az osztás? Ha egy egészt elosztok háromfele, akkor három darab kisebb részt kapok. Ha egy tortát négyfelé vágok, akkor négy darab lesz belőle. Hogy lehetne egy tortát úgy elvágni, hogy fél darab legyen belőle? Fél darab nincs. A darabszám mindig egész. Sokszor használjuk azt, hogy félbe vágom, ami igazából kettéosztást jelent és nem félbeosztást. Akkor hogyan értelmezhető a törttel való osztás?

Még 1. és 2. osztályban nem csak osztás volt. Ugye ha 6-ot elosztod kettővel, akkor ketté kell vágnod a kupacot, így minden kupacban 3-3 darab valami lesz. De volt egy másik művelet is, a bennfoglalás. Hatban a kettő megvan háromszor. Mit jelent ez? Hogy kettesével csomagolva hány csomagot kapunk. Itt egy kettes csoport, ott egy kettes csoport, meg még itt egy kettes csoport, az összesen három darab kettes csoport. 6:2=3.

Az osztás és a bennfoglalás művelete számszerűsítve ugyanannyit ad. De két teljesen más műveletről van szó!

6/2 = hat darab valamit ha két azonos méretű halomba rendezek, akkor egy halomban hány darab x van?

6/2 = xxx | xxx = 3 darab x

6:2 = hat darab valamit, ha két darabos csomagokra csoportosítok, akkor hány darab csomagunk lesz?

6:2 = [xx]+[xx]+[xx] = 3 darab [xx]

A tört esetén nincs értelme osztásról beszélni. 2 / (2/3). Van két tortám, amit 2/3 darab halomba rendezek, akkor hány darab van egy halomban? Mi az, hogy 2/3 darab halom?

Viszont van értelme bennfoglalásról beszélni. 2 tortát ha (2/3)- részekben osztogatok szét, akkor hány ember fog kapni belőle? Ennek már van értelme. 2 / (1/3) az a kérdés, hogy 2 egész tortát hány darab 1/3 részre lehet vágni. Természetesen 3-szor annyi lesz a darabszám, tehát 6 darabra lehet vágni így. Ha a törtben nagyobb a számláló, az azt jelenti, hogy több darab jut egy-egy embernek, így kevesebb ember fog csomagot kapni.

Tehát ha egy egész számot osztunk törttel, akkor a tört nevezőjében lévő számmal szorozni kell pl. 8 : 4/3 esetén harmadakkora dolgokból háromszor annyi lesz. A tört számlálójába írt számmal meg osztani kell, hiszen ha négyszer annyit adsz egy-egy embernek, akkor negyed annyi ember fogja megkapni az adagját. Így jön ki, hogy 8 : 4/3 = 8 * 3/4.

Ha a tört esetén a számlálót és a nevezőt felcseréled, azt hívják szép idegen szóval reciproknak. Egy törttel „osztani” úgy kell, hogy a reciprokkal szorzol. Remélem a fentiek miatt érthető, hogy miért, milyen tényleges változásokat jelent mindez.

Tört osztása egésszel: 5/3 / 2

Mit jelent ez, hogy van valamennyi tortaszeletem, ennek kell venni a felét. Persze 5 darabot nem lehet kettéosztani. De ott a lehetőség, hogy magukat a tortaszeleteket osztom ketté, így nem harmadokból, hanem hatodokból lesz 5-5 darabom, így az 5/6 + 5/6 -ot könnyen ketté tudom már osztani. Tehát itt nem másról van szó, minthogy a nevezőt kell szorozni.

5/3 / 2 = 5 /(2*3)

Írtam eleget. A lényeg, hogy a többi visszavezethető mindezekre. Ha egy törtet törttel osztasz, akkor ugyanúgy a reciprokkal való szorzást kell megcsinálni. Ha egy törtet törttel szorzol, ugyanúgy a számlálót kell megszorozni, így egészet szorzol a számlálóban törttel, amit meg láttunk fent, hogy hogyan működik. Pl.

(5/3) / (4/7) = (5/3) * (7/4) = [(5/3)*7]/4 = [(5*7)/3]/4 = (35/3)/4 = 35/(3*4) = 35/12

Persze a tört törttel való szorzását kicsit máshogy kell elképzelni. Pl. a tortát nem csak szeletekre lehet osztani, hanem tortalapokra is. Így már rögtön értelmet kap a dolog, és ugyanúgy értelmezhető tényleges műveletként, stb…