Egy 7x7-es sakktábla minden kockáján ül egy csiga. Egy jelre mindegyik átmászik egy tőle szomszédos kockára. Lesz-e olyan kocka amin biztosan 2 csiga fog így ülni?

#1. A táblán mezők vannak nem kockák. (Fogalomzavar)

#2. Nem írtad le hogy mit jelent a szomszédos. Ha az átlósan elérhető mező is szomszédosnak számít, akkor nem lehet biztosan megmondani a választ.

#3. Ha csak vízszintesen vagy függőlegesen lehet mozogni egy lépésben, akkor biztosan lesz 2 csiga egy mezőn. Ennek oka a paritásban keresendő.

#4. Ha páros számú mezőből állna a tábla mindkét oldala, akkor van olyan mozgás aminek során minden mezőn egy csiga marad. Például: befelé haladva körökre bontod a táblát. Minden csiga a saját körén belül óramutató járásával egyező irányban lép egy mezőt. Mivel páros a mezők száma ezért a tábla közepén egy 2x2 -es kör alakul ki és azon belül már nincsen semmi. De ez nem jelenti azt, hogy egy véletlenszerű mozgatás pont ilyen körökből áll. Tehát páros oldalú tábla esetén annyit tudunk mondani hogy TALÁN vagy hogy EZ IS ELŐFORDULHAT, de ez nem biztos.

#5. A páratlan esetről: A feladat csak akkor megoldható, ha a mezőkbe beírható egy vagy több kör (szomszédos mezők összekötésével) olyan módon, hogy a körök az összes mezőt lefedik (nem marad ki egy mező sem a körből vagy a körökből). Nyilván azért körökkel kell lefedni, mert ha egy mezőről elmegy egy csiga akkor oda egy másiknak jönnie is kell. Mivel a csigák és a mezők száma is kötött (és egyforma) ezért minden mezőn páros számú csiga kell hogy mozogjon (egy be egy ki, vagy kettő be kettő ki). Ebből következik, hogy a mozgásoknak kört vagy köröket kell alkotniuk. Ha több kör van, akkor ezeknek lehetnek egymással közös részei (kivéve a metszést). Nem nehéz belátni, hogy páratlan oldalú tábla esetén ilyen körök nem léteznek. Egy lehetséges bizonyítás: ha egy kör elindul az egyik irányba (mondjuk fölfelé) akkor annak vissza is kell jönnie (ellenkező irányba, lefelé). Mert olyan kör nincs, ami csak fölfelé megy (vagy csak balra, vagy csak jobbra stb.). Tehát bármely kör vízszintes és függőleges irányban is csak páros számú mezőt foglalhat le. Páratlant sosem. De nekünk a táblán páratlan számú mezőnk van minden irányban. Ezzel beláttuk hogy nem tábla nem járható be egy vagy több kör segítségével. Ami egyben azt is jelenti, hogy BIZTOSAN lesz olyan mező amin két csiga lesz. (Mellesleg ez azt is jelenti, hogy biztosan lesz olyan mező ami üresen marad.)

q.e.d.

nagylzs #2-es esete:

Ha átlósan is mehetnek a csigák, akkor 3×3-asra könnyű megoldani úgy a csigák mozgását, hogy ne legyen olyan, amin kettő ül (középső kimegy bal középre, a bal alsó átlósan középre és a többiek az óramutató járása szerint körbe), 7×7-esnél meg annyi, hogy a középső 3×3-as körül körbe mozognak.

Szóval ebben az esetben a megoldás, hogy nem olyan mező, amin biztosan 2 csiga fog ülni. (Lehet, hogy lesz olyan mező, amin két csiga ül, de ez nem biztos.) Szóval meg lehet mondani a választ a kérdésre.

Az #5-ös pontban nyilván gráfelméleti körökről van szó. (A sakktábla a csigák lehetséges "lépéseivel" egy gráf, melynek csúcsai a mezők, és akkor futnak élek két csúcs között, ha a csigák átléphetnek egyikről a másikra.)