Érdekelne a véleményetek, okfejtésetek. Mit gondoltok?

nem nagyon értem a problémád, talán a végtelen fogalmával nem vagy tisztában?

a végtelen az nem egy konkrét szám. csak azt azt jelenti, hogy egy nagyon nagy szám. ezért

végtelen=végtelen*2

végtelen=végtelen*végtelen

sőt,

végtelen=végtelen/2

végtelen=gyök(végtelen)

gondolom erre a "paradoxonra" gondolsz: [link]

ez viszont csak egy trükkös agytorna. nyilván ha mindig csak felezgeted a távolságot, akkor elméletben nem jutsz el a kapuig (vagy a végtelenben jutsz el oda, ahogy tetszik, tökmind1).

Az a baj, hogy sokan a végtelent számként próbálják felfogni, mint az 5-öt meg a 10-et, amihez hozzá lehet adni és akkor nagyobb lesz. Vagy kivonni és akkor kisebb.

Azonban a végtelen nem szám, hanem fogalom, mint például a szépség. Nem egy bazinagy számot jelöl, mondjuk egy 1-est és utána annyi nullát ahány atom van az univerzumban. Nem. Az egy sima szám volna, jó nagy, de ugyanolyan, mint az 5 meg a 10.

A végtelen azt jelenti, hogy "nem egy szám, hanem valami, aminek sehol sincs vége, aminél nincs nagyobb, amit emiatt nem lehet megnövelni se szorzással, se hozzáadással, és osztással vagy kivonással nem lehet csökkenteni".

Például képzelj el egy lepedőt. Az osztás olyan művelet, mint ha ezt félbehajtanád, muszáj hogy legyen valamiféle véges értéke a dolognak. A végtelennek nincs vége, ezért nem tudod félbehajtani. Vagy ha tudnád, a két fél is önmagában végtelen lenne.

Vagy képzeld el, hogy van egy végtelen szobád, amiben négyzet alakú járólapok vannak. Ezek száma nyilván végtelen. Bármerre indulsz a szobában, sose lesz vége, akkor se, ha egy egyenesen haladsz.

Tegyük fel, hogy mostantól sakktábal mintás a járólap, és te csak feketére léphetsz. Kevesebb lett így a számodra elérhető járólapok száma? Nem, hiszen továbbra is végtelen. Igaz, hogy az egyes járólapok határoltak, de ha összetolnánk a feketéket egymás mellé, ugyanolyan végtelen szobát kapnánk, mint amilyen eredetileg volt. Pedig csak a lapok fele van meg. A sakktáblamintás szobában ugyanúgy végtelen sokáig haladhatsz, az összes járólap is végtelen és a fekete járólap is végtelen, ezek terülte is végtelen.

Induljunk visszafelé. Sokféle végtelen van, és annak sokféle jelentése. Azt is mondhatnám, végtelen sokféle végtelen van. Ezekkel kitűnően lehet dolgozni, végtelen sokféle dolgot lehet felfedezni a segítségükkel.

Végtelen sok pont van egy egyenesen, és végtelen sok a síkon, de ezek nem ugyanazok a végtelenek. Végtelen sok egész szám van, végtelen sok törtszám van, és ezek ugyanazok a végtelen, bármilyen nehezen hihető. És végtelen sok irracionális szám van azok meg sokkal többen vannak, az már megint egy másik végtelen.

Ez mind szép és jó, de akkor hogy a fenébe lehet ezt értelmezni, megfogni, a valóságos tapasztalatainkba illeszteni?

Nagyon nehezen, csak a gondolkodás egy új szintén, egy újabb absztrakcióval. Aki azt mondja, hogy ez egy könnyű dolog, gyakorlatilag nincs fogalma a végtelen természetéről. Ismeri néhány tulajdonságát, de magát a fogalmat nem.

A matematika a valóságos dolgok tapasztalásából keletkezett. Amíg csak össze kellett számolni, hány vaddisznót ejtettünk, könnyű volt. Amikor már osztani kellett, számon tartani, mi marad télre, ki kellett találni a műveleteket. Ez még közvetlenül a tapasztaláson alapult. De kiderült, hogy a matematikában egymásra épülő szabályokat lehet gyártani, és ha ügyelünk arra, hogy beleilleszkedjenek a korábbi szabályok, meg a mindennapi tapasztalat, akkor olyan dolgokat is kitalálhatunk, aminek nincs nyilvánvaló jelentése, tapasztalása. Aztán kialakult a matematikának nevezett önálló rendszer, a maga sok területével (algebra, geometria, analízis, függvényrendszerek, stb.). És most már az a kérdés, az élet bonyolult jelenségei, amiket nem értünk, ráhúzhatók-e valamilyen matematikai fogalomra, mert ha igen, meg fogjuk érteni a matematika segítségével. Ez a terület az alkalmazott matematika, azon belül a modellalkotás.

Itt jön be a végtelen. Számláltak, számláltak, és furcsaságokat tapasztaltak. Nem lehet abbahagyni a számokhoz való hozzáadást, amit kapunk újra szám. Elkezdünk darabolni, látjuk hogy egyre kisebb lesz, szinte már semmi, de még mindig darabolhatunk. Nemcsak egyre közelebb kerülünk a semmihez, de egyre több darab lesz. Ekkor bevezettek egy új fogalmat, a végtelent, hátha az addigi matematikai szabályokat alkalmazni lehet rá is. De nem volt olyan jelentése, mint a háromnak például. Viszont néhány különlegességtől eltekintve, ugyanúgy lehetett számolni vele. Például észrevették, hogy egy sorozat (mondjuk az előbbi daraboké) végtelen számú elemből áll, de egy képzeletbeli értékhez egyre közeledik, viszont soha nem lesz akkora, csak egyre kisebb távolságban van. És sorozatokat össze lehet adni. Ha a végtelennel - ebben az esetben!!! - úgy dolgozunk, mint egy számmal, akkor igen. Sőt, kijön, hogy a határérték, amihez a két sorozat külön külön közelített, szintén összeadódik. Ezt meg lehet csinálni négyzetekkel, kockákkal, más alakzatokkal is. Ezekből is végteln számú gyártható úgy, hogy mondjuk mindig beleférnek egy másik hasonló alakzatba, minden ponton egyre közelebb kerülnek hozzá, de soha nem lesznek azonosak vele.

A kérdésben szereplő egyenes darabban (mert a két centis nem egyenes, csak véges darabja) végtelen sok pont van. A kétszer akkora darabban is. Végtelen meg végtelen az végtelen. Ez az eltérés a sok hasonlóság mellett a véges számoktól. De vegyünk egy képzeletbeli igazi végtelen egyenest. Végtelen sok pontja van. De ha beskálázzuk, és csak minden egésszel jelzett pontot veszünk, az is végtelen. Ha hozzávesszük az összes olyan pontot, amit tört számmal ki tudunk fejezni, az is végtelen. De mégis kevesebb végtelen, mint az összes pont.

Honnan tudjuk? Összehasonlítással. Veszünk két végtelent. Az elsőből veszünk egy elemet, keresünk hozzá párt a másodikból. Ezt addig csináljuk, míg az egyik elfogy. Megnézzük, mi maradt a másikban.

Vegyük az egész számokat, és az összes létező törtszámot. Melyik több? A törteket rendezzük nagyság szerint sorba. Ezt megtehetjük, hiszen két tört közül az a nagyobb, ahol - közös nevezőre hozva őket - a számlálóban nagyobb szám áll. Így tehát minden törtről meg tudjuk mondani, melyik másik kettő között van. Az így kapott sorozat elemeihez rendeljük hozzá azt az egész számot, ahányadik a sorban. Így minden törthöz meg tudjuk mondani, hogy melyik egész szám tartozik hozzá, vagyis nincs több tört, mint egész szám. És kevesebb? ha volna egy egész szám, amihez nincs tört, mondjuk az N ilyen, akkor vesszük a 2*N/N számot, ez tört, ezért benne kell lennie a törtes csoportban. Így megállapíthatjuk - bármennyire is ellenkezik a szemléletünkkel - hogy az egész számok és a törtszámok azonos mennyiségű végtelen sokan vannak, azt mondjuk, a számosságuk azonos. Ha az egészeket a valós számokkal (az egyenes összes pontjával) akarnánk összehasonlítani, ki lehet mutatni hasonló technikával, hogy mindig akad olyan valós szám, aminek nincs párja az egészek között. Ezért a valós számok végtelenje nagyobb, azaz a számosságuk nagyobb.

Talán látható volt a végtelen kialakulásának története, és az, hogyan is lehet (és kell) velük számolni. De azt gondolni, hogy ennek a megértése könnyű, igen nagy tévedés.