Oszthatóság bizonyítás - Hogyan kell?

30=2*3*5, tehát megtehetjük, hogy külön bebizonyítjuk, hogy mindig osztható 2-vel, 3-mal, illetve 5-tel.

Ha a szorzat bármely tagja osztható p-vel, akkor az egész szorzat is.

Pl. p=5-re mod 5

x 0 1 2 3 4

x^2 0 1 4 4 1

x^4 0 1 1 1 1

Vagyis, ha a, b nem oszthatóak 5-tel, akkor a^4-b^4 = 1-1=0 mod 5, tehát a harmadik tag osztható lesz 5-tel.

Hasonlóan kell a 2 és a 3 esetén is kifejteni.

A szorzattá alakítást szokták ilyesmivel gyakorolni. Szorzattá alakítás után az értékekre rendre megkeressük azt a tényezőt, amelyik biztosítja az oszthatóságot:

ab(a^4-b^4)=ab(a^2+b^2)(a^2-b^2)=ab(a^2+b^2)(a+b)(a-b) és mivel 2,3,5 relatív prímek, így elég külön bizonyítani. Ha a,b vmelyike páros akkor nyilván 2|ab, ha mindkettő páratlan akor 2|a-b. Hasonlóan ha vmelyik 3-al osztható akkor 3|ab, ha ugyanazt a maradékot adják (1-1,2-2,3-3) akkor 3|a-b, ha (1-2,2-1) maradékot adnak akkor pedig 3|a+b. 5re is ha 5|a, vagy 5|b, akkor 5|ab, azonos maradéknál 5|a-b, (1-4,4-1,2-3,3-2) maradékoknál 5|a+b, (1-2,1-3,2-4,3-4) maradékoknál pedig 5|a^2+b^2.