Mekkorák a háromszög oldalai ebben a feladatban?

Érdekes feladat!

Annyit azért meg kellett volna említeni, hogy a háromszög alapja 45 fokos szöget zár be a négyzet oldalaival, vagy másként fogalmazva: párhuzamos a négyzet átlójával.

A feladatot ennek feltételezésével oldottam meg.

A jelölések értelmezését lásd

[link]

Szerintem arányokkal nem lehet megoldani, ki kell számolni az oldalhosszakat.

Amit tudunk

K = 3,084

a = 1

A megoldási stratégia: a 'c' oldalt kétféleképp felírva majd egyenlővé téve a két kifejezést, a 'b' oldal meghatározható.

A 'c' egyik kifejezése a

K = 2c + b

összefüggésből adódik.

c = (K - b)/2 = K/2 - b/2

Bevezetve a félkerületet

K/2 = s

így

c = s - b/2

A másik egyenlet kétféleképp is megkapható

Az egyik módszer

c² = m² + (b/2)²

Mivel

m = a√2 - (b/2)

így

c² = [a√2 - (b/2)]² + (b/2)²

A kerületből kifejezett 'c' értékének a négyzete

c² = [s - (b/2)]²

A kettőt egyenlővé téve az

[a√2 - (b/2)]² + (b/2)² = [s - (b/2)]²

egyenletet kapjuk.

Az a = 1 behelyettesítésével a

(A) [√2 - (b/2)]² + (b/2)² = [s - (b/2)]²

alakú lesz, amiből 'b' meghatározható

A másik módszer

c² = [a - (b*√2/2)]² + a²

ill.

c² = [1 - (b*√2/2)]² + 1

ezt egyenlővé téve a

c² = [s - (b/2(]²

összefüggéssel az

(B) [1 - (b*√2/2)]² + 1 = [s - (b/2(]²

egyenlet adódik, amiből 'b' már meghatározható.

Részemről a második módszert választottam kis módosítással.

Azt mondtam, legyen

b/a = n

ill.

b = n*a

vagyis a 'b' oldal a négyzet oldalának valahányszorosa.

Ezzel a (B) egyenlet,

[1 - (b*√2/2)]² + 1 = [s - (b/2(]²

figyelembe véve az

a = 1

kitételt, a következő lesz:

[1 - (n*√2/2)]² + 1 = [s - (n/2(]²

Ebből a két oldal arányát lehet megkapni, ami az egységnyi oldalú négyzet miatt a megoldást is jelenti.

Mellőzném a az egyenlet felbontását, rendezését, a végén a következő másodfokú egyenlet adódik:

(C) 0 = n² - 4n(√2 - s) + 4(2 - s²)

Az egyenlet megoldást jelentő gyöke:

n = 2√[2s(s - √2)] - [2(s - √2)]

A kerület illetve a félkerületet ismerve az 'n' értéke

n = 0,9999642586317233605205000829821

Szándékosan másoltam be az eredményt, ami alapján nyugodt szívvel lehet azt mondani, hogy a megoldás

n = 1

Ami azt jelenti, hogy a háromszög alapja azonos a négyzet oldalával, vagyis

b = 1

====

A szár hosszát a

c = s - b/2

összefüggésből lehet kiszámolni, ami

c = 1, 042

========

A pontos értékkel - b = 1 - kiszámolva a kerületet

K = 3,0840215331199483085616605062291

adódik, amiből látható, hogy az így számolt érték kerekítését adták meg a feladatban.

Kicsit továbbgondolva a feladatot, feltettem a kérdést, mekkora lenne egy egyenlő oldalú háromszög oldala?

Ha van kedved, szorgalmiként kiszámolhatod, az eredmény

n = √6 - √2

========

DeeDee

**********