Mire képesek a legnagyobb matekzsenik?

Én nem értek a gamma függvényhez, de a wikipédia azt írja, hogy "A faktoriális – ésszerű feltételek mellett – egyértelműen terjeszthető ki a komplex számok halmazára a negatív egész számokat kivéve; ez a gamma-függvény:"

[link]

Ha elfogadjuk a negatív egész számokra való kiterjesztést is, akkor szembe kell nézni azzal, hogy 0•∞ = 1. Hogy ezt elkerüljük, egyszerűen kijelentjük, hogy a negatív egész számokra már nem lehet a faktoriálisok fogalmát kiterjeszteni. Ez kb. olyan, mint amikor az egyszeri parasztbácsika még a régi békebeli időkben felutazott Pestre és elment az állatkertbe. Meglátta a zsiráfot, nézi, nézi, egyszer csak megjegyzi: Ilyen állat nincs is.

Na jó, tudom, hogy ez durva, de nekem úgy tűnik, hogy a matematikusok időnként finoman elsütik ezt a trükköt, hogy megússzanak egy nagyobb ellentmondást, amikor a helyzet kezelésére nincs kéznél jobb megoldás. Vegyünk egy másik esetet:

A végtelennel kapcsolatban gyakran az az elképzelés, hogy mivelhogy végtelen, akkor kimeríthetetlen is. Pedig ez nem így van. A végtelent egyes esetekben el lehet “fogyasztani”. Legyen pl. egy “a” hosszúságú szakaszunk és egy “a” élhosszú négyzetünk.

Azt meg lehet csinálni, hogy az “a” élhosszú szakasz minden egyes pontjához hozzárendelünk egy pontot az “a” élhosszú négyzetből úgy, hogy ugyanazt a pontot a négyzetből többször nem használjuk csak egyszer (laikusan fogalmazva), miközben még végtelen sok “felhasználatlan” pont marad. De meg lehet ezt csinálni fordítva is? Hogy a négyzet minden egyes pontjához hozzárendeljük a szakasz valamelyik pontját, de a szakasz minden pontját szintén csak egyszer “használjuk”? Nem, mert egyszer csak “elfogynak” a szakasz pontjai, annak ellenére, hogy végtelen sok van belőlük.

Másik tipikus példa pl. a “Grand Hotel-paradoxon”. Most nem akarom ezt a példát részletezni, de a lényeg az, hogy a végtelen esetén a matematika elég fura eredményekkel tud szolgálni. Most kérdés, hogy ezek után mennyire megbízható a matematika a végtelen értékek esetében?

[link]

A "The rationals are countable" bekezdésnél van leírva angolul és alatta kép is van. (Természetes számokban 1->2->3->4->5->6 ... Racionális számokban 1/1->2/1->1/2->1/3->2/2->3/1 ...)

Számosságban a természetes számok és annak minden hatványa megegyezik. Az egész számok (Z) NxN-ként (N^2) van meghatározva, a racionális számok (R) pedig ZxZ-ként ((N^2)^2, azaz N^4). Azaz létezik bijekció a két halmaz között. Módszert lásd fent.

A hatványhalmaz már megegyezik a valósszámok számosságával.