A matematika milyen része fedi le a hétköznapi valóságot?

A matematika egy eszkoz, mint peldaul egy kalapacs. Hogy ezzel a kalapaccsal epp olyan dolgokat fabrikalnak (mar amennyire egy kalapaccsal fabrikalni szokas, de erted, mire gondolok), ami masoknak is hasznara van, vagy csak a kalapacs rajongoi klub (nem a Pokolgep es Omen bandak lelkes hallgatoira gondolva most) hasznalja azt, az egy erdekes kerdes.

A matematikaval, mint eszkozzel megprobaljuk leirni a valosag kulonbozo reszeit, felhasznaljuk azt. A matematikanak valoban vannak olyan agai, amik egyelore ilyen gyakorlati alkalmazasra meg nem hasznaltak - de a hangsuly a "meg"-en van. Nem igazan lehet megmondani, hogy na ezt soha nem fogjuk hasznalni a valosag semmilyen elemenek leirasahoz. A Riemann fele geometria sem azert lett kitalalva, hogy fantasztikus gyakorlati alkalmazasai lesznek, aztan kiderult, hogy pont jo az altalanos relativitaselmelet megalkotasahoz, mint eszkoz.

Amit a matematikusok csinalnak, az az, hogy bovitik ezen eszkozok szamat. Aztan kiderul, mennyi eszkozt vesznek le a polcrol vegul azok az emberek, akik ilyen eszkozoket keresek a valosag modellezesehez.

Mármint mi, a macska? Jól írod, Schrödingernek az volt a célja a paradoxonnal, hogy megmutassa, mennyire képtelen következtetéshez vezet, ha azt mondjuk, hogy a hullámfüggvény nem redukálódik, amíg nem figyeljük meg. Ha a macska szempontjából nézzük, ő megfigyeli a saját halálát, tehát egyérteműen élő vagy halott állapotban lesz. Mi meg tényleg nem tudjuk, hogy élő vagy halott, így a mi szempontunkból 50% valószínűséggel élőnek tekinthető.

#4 Nem értek egyet, a matematika egy absztrakt konstrukció, ami nem létezik olyan értelemben, ahogy a fizikai valóság létezik. A valóság és a matek között létre lehet hozni egyértelmű megfeleltetést, és akkor amire a matekban rájöttünk, az igaz lesz a valóságra is. Sőt ugyanazt a valóságos dolgot nagyon sok matematikai konstrukcióval megfeleltetésbe lehet hozni, és ha nem vétünk hibát, mind ugyanahhoz a valóságos eredményhez vezet.

Egy egyszerű példa, hogy ismerjük a fejek és a lábak számát, meg kell mondani, hogy a farmon hány nyúl és hány tyúk él. (pl. 30 fej, 80láb)

Alsós megoldás: először feltesszük, hogy mind tyúk, ekkor kevesebb láb jön ki, mint a tényleges. Lépésenként növeljük a nyulak számát, míg a lábak száma eléri a 80-at. Lehet haladó módon is csinálni, nem egyesével változtatni, és ha több láb adódik a nyulak arányát, ha kevesebb a tyúkokét csökkenteni. (Ha általánosan szemléljük a problémát, akkor ezek megoldási algoritmusok, amiket egy algoritmusleíró nyelven megtehetünk, ez ám szintén a mateknak egy ága)

Algebrai megoldás: tyúkok száma: x, nyulak száma y. Felírható az alábbi egyenletrendszer:

x+y=30

2x+4y=80

Ennek megoldására már léteznek az iskolában begyakorolt algoritmusaink, sőt általános esetre felírhatjuk és megdolhatjuk paraméteresen is:

x+y=a

2x+4y=b

(a a fejek, b a lábak száma) Kijön, hogy a tyúkok száma 2a-0,5b, ami jelen esetben 20.

De az egyenletrendszerbe beleláthatjuk két egyenes egyenletét is:

y=30-x

y=20-0,5x

Koordináta-rendszerbe felrajzoljuk a két egyenest, és a metszéspontjuk (x,y) koordinátái adják a tyukok és nyulak számát.

Tisztán koordináta-geometriai megoldás:

x tengely a fejek, y tengely a lábak száma. Adott a (0,0)->(1,2) tyúkvektor, és a (0,0)->(1,4) nyúlvektor valamint a (0,0)->(30,80) farmvektor. A farmvektort a fizikában megismert módon felbontjuk nyúlvektor és tyúkvektor irányú vektorok összegére, majd megnézzük, hogy ezekre a komponensekre hányszor fér rá a tyúk- illetve nyúlvektor. Van a méricskélős módszernek némi pontatlansága, de az a tény, hogy egész számú élőlény van, korrigálja a hibákat és kijön az eredmény.

Létezik ennek egy precíz változata (egyetemi matek) ahol az ortonormált fej-láb koordinátarandszerről bázistranszformációval áttérünk a nyúlvektor és tyúkvektor bázisára, itt már bonyolult mátrix-matematika szüli meg az eredményt, ami persze ugyanaz, mint bármelyik eddigi módszerrel.

Szóval adott valós problémát sok matematikai konstrukcióval kapcsolatba lehet hozni, és mind megadja ugyanazt a választ.

Érdekesség, nehogy azt gondoljuk, hogy csak ilyen "ágyúval verébre" erőltetett példák vannak erre: a kvantummechanikának eredetileg párhuzamosan létezett egy mátrixmechanikás és egy hullámfüggvényes leírása, egy darabig gondolkodtak rajta, hogy melyik a helyes, végül kiderült, hogy mindkettő.

A macskát sokan szeretik, mert jól hangzik. Érteni kicsit nehezebb.

Induljunk onnan, gondolkodol. Melletted áll egy másik ember, ő is ezt teszi. Ahhoz, hogy megtudd, ő mit gondolt, és ő megtudja, te mit gondoltál, beszélnetek kell. A hadoválás nem jó, olyasmi kell, amiben mindketten ugyanazt értitek. Ez a nyelv. A kommunikáció eszköze.

A természet körülvesz, te is a része vagy. Mivel képes vagy gondolkodni, kíváncsi leszel, megfigyelsz ezt azt, de míg nem gyártasz egy nyelvet, amelyen ez elmondható, semmire sem jutsz. A matematika a természet nyelve. Ezért ha a matematika egy részét érteni akarod, kénytelen leszel a megfelelő természeti jelenséget megismerni. Amíg ez meg nem történik, lesz egy megfigyelésed a természetről, amit nem tudsz megfogalmazni, és lesz egy zagyvaság a matematikáról, amit semmire nem tudsz használni. Ha sikerült összekapcsolni ezeket, minden értelmet nyer. Tudsz a valóóságról beszélni a másik ember számára érthetően, és tudod mit jelent a matematikai nyelv ezen kifejezése a természetben.

Látod, hogy egy gazella fut, az oroszlán utoléri és megeszi. Ezt csak akkor tudod megértetni valakivel, aki ilyent (futást, utolérést) soha sem tapasztalt, ha mindketten ismeritek a szorzást, viszonyítást, mint matematikai fogalmat. Persze ha egy atomrobbanást akarsz ismertetni, akkor már parciális differenciálegyenletekhez és még néhány más dologhoz kell érteni, mert az atomrobbanásnak ez a matematika a nyelve.

A nyelvújítás korában az ezzel foglalkozók észrevették, hogy egyre romlik a beszélgetés hatásfoka, mert a világ annyit változott, hogy azt már nem lehetett értelmesen megbeszélni, nem volt rá szó. A nyelv maga is fejlődik, sőt minden természeti jelenségről a specialisták egyre többet tudnak. Az mindig csak később következik be, hogy valaki, aki több területen jártas, észreveszi, hogy az egyik tudományág és a másik tudományág egy ismerete ugyanannak a természeti jelenségnek a két nézete.

Az ember egy jól meghatározott méretű lény. Nincs ötszáz méteres és nincs fél milliméteres ember. De van nagy hegy meg bolha. A ember érzékszerei a saját méreteihez igazodnak, ezért nagyon nagy vagy nagyon kicsi dolog vizsgálata nem fog sikerülni a saját érzékszerveivel. De semmi gond, feltalálja a távcsőt, szemüveget, mikroszkópot, stb. Sőt rájön, hogy a fizika egyéb dolgai, mint például hullámhossz, aminek persze matematikája is van, alkalmas irdatlan távolságok belátására, meg irdatlanul kicsi dolgok érzékelésére is. Például egy elektront sose láthatsz. Ám ha veszel egy olyan izotópot, amelyről tudod, hogy elektronokat bocsát ki, beleteszed egy üvegcsészébe, amelyben egy bizonyos ionizálható gáz van, akkor az elektront látni fogod. Mert amerre megy, ionizálja a gázt, ami olyan, mint a repülő csíkja a levegőben.

A macska nem létezik. A macska egy olyan jelenséget próbál megmagyarázni, amit az ember sosem tapasztalhat, mert nem érzéklelhető. Viszont a hatásait igen, csak az általa látható világban olyan nincs. Ezért valahogy mégis meg kéne magyarázni a mindenki által ismert dolgokkal. Csakhogy egy hasonlat minidig csak egy valamiben azonos avval, mihez hasonlít, a többiben meg különbözik. Ez a helyzet a macskával is. Aki nem érti, mindig olyasmire hivatkozik vele kapcsolatban, ami arra a jelenségre nem érvényes. Ez is mutatja, milyen nehéz megértetni valamit, amiről nincs tapasztalat. Az elektron láthatóságát egyetlen diák sem hitte el. amkor látták a kísérletet, néhányan már elhitték. Közülük páran jól el is tudták mondani, mit is láttak. A későbbiekben még páran megértették. A többségem nem is volt rá esélye. Túl bonyolult volt számukra. Volt aki azt mondta később, nem érti igazán, de egy életre szóló élmény volt és el is hiszi.

A matematika tehát a természet nyelve. Egy nyelvet lehet ismerni pár szó erejéig, de lehet alaposan is. Amikor Einstein megalkotta az általános relativitáselméletét, akik megértették, próbáltak további következtetéseket levonni, sikerrel. Mikor ezt Einstein meghallotta, azt mondta. Nem hiszem, isten nem szerencsejátékos. Ez mutatja, a nyelv és ezáltal a valóság megismerése mindenki számára más hatát jelent, mert az emberi elme sokkal kevesebbet képes befogadni, mint amennyire összetett a valóság.

Még egy fontos dolog. A természet egy jelensége, például a szél rendkívül sok dologtól függ. Ezt a sok dolgot, kezdeti, vagy peremfeltételnek nevezzük. Ha az összeset megadnánk, olyan bonyolult összefüggésekkel kellene számolni, amival a mai számítógépek se boldogulnának. Ráadásul egy csomót meg se tudunk mérni. Mégis számolunk, mert tudjuk, egyes feltételek alapvetően befolyásolják az eredményt, mások meg alig. A szél esetében például ha szerencsénk van és eléggé fontos adatokat sikerült megmérni, elég pontosan megjósoljuk, holnap este milyen szél lesz. Ha pechünk volt, akkor mások a fontosak, és meg se közelítjük a holnapi valóságot a jóslással.

Az biztos, hogy a nyelv bármely szava leír valamit. Különben nem lehetne kitalálni, hiszen az a nyelv is a természet része. Azt viszont nem tudjuk, valakinek mikor sikerül megfigyelnie azt a jelenséget, amire vonatkozik, és ki lesz aki rájön, a nyelv ezen része éppen azt a jelenséget írta le.