Mindig bővebb számhalmazt kapunk a racionális számok valamennyi egymásra tornyozása után?

Legyenek q1,q2,...,qn és p1,p2,...,pm racionális számok. q1^q2 könnyen lehet irracionális (algebrai), de nem tartalmazza az összeset, mert például a pít így sehogy sem kapjuk meg. Viszont bővebb-e a q1^q2^q3 alakban megkapható számok halmaza az előbbinél? Szerintem igen, mert benne van gyök(2)^gyök(2), ami nem áll elő q1^q2 alakban. Viszont minden feltornyozás után akkor egy nagyobb számhalmazt kapunk? Tehát n<m esetén a q1^...^qn számok számhalmaza valódi részhalmaza a p1^...^pm számok halmazának, vagy van egy n szint, ami után nem juthatunk ilyen módon bővebb halmazhoz?

Kommentek: vélhetően pí és e sosem lesz benne. Ill. n és m tetszőlegesen nagy, de véges számok.