Mindig bővebb számhalmazt kapunk a racionális számok valamennyi egymásra tornyozása után?

Kicsit, mintha kevernéd a dolgokat. A pi nem algebrai szám, hanem transzcendens.

A valós számok halmazát szoktuk két nagy csoportra bontani úgy, hogy algebrai és transzcendens számok. A transzcendens számomról azt tudjuk, hogy mind irracionálisak, viszont nem minden irracionális transzcendens, tipikus példa erre a gyök(2), ami irracionális, de az x^2=2 egyenlet megoldása.

Ezzel a felírással a transzcendens számok halmazát tudjuk tovább bontani, ha nagyon akarjuk. Persze ettől még érdekes kérdés, hogy a pi felírható-e ilyen alakban, én azt gyanítom, hogy nem, legfeljebb határértékként.

A számhalmaz nem, a hülyeség viszont exponenciálisan bővül.

Azonban, miután a fogalmakkal és a mondatok értelmével egyenesbe jöttünk, lehet folytatni a diskurzust.

Hasonlóan ahogy a racionális számok esetén a számláló és a nevező megszámlálhatóan végtelen, így számpárként is az, a te konstrukciódban is az alap és a kivető számpárokat alkot, és hasonló okok miatt ezek a hatványok is ℵ₀ számosságúak.

> Mindig bővebb számhalmazt kapunk […]?

> Viszont minden feltornyozás után akkor egy nagyobb számhalmazt kapunk?

Olyan értelemben igen, hogy ha

ℍ₀ = ℚ

ℍₙ₊₁ := { z | (∃x)(∃y) (z= xʸ ∧ x∈ℍₙ∧y∈ℍₙ) }

akkor

(∃x) (x∈ℍₙ₊₁∧x∉ℍₙ)

De minden ilyen halmaz számossága ugyanúgy ℵ₀ lesz, így a „bővebb” nem jelent nagyobb számosságot.

> vélhetően pí és e sosem lesz benne.

Akár benne lesznek, akár nem, a te módszered úgy bővíti az az algebrai számok halmazát, hogy az általad képzett halmazok számossága továbbra is ℵ₀ marad, így (több mint) végtelenszer több olyan szám lesz, ami az általad képzett halmazoknak nem eleme, de a valós számok halmazának igen. Emiatt bár az ötlet tetszik, nagyobb jelentőségét, ami miatt érdemes lenne tovább gondolni, nem nagyon látom.