Mi értelme van az alábbinak? Ha értelmezünk egy omega halmazt ,akkor legyen A részhalmaza omegának ekkor elmondható, hogy A eleme az omega hatványhalmazának és ez általnosan igaz, Tudjuk, hogy F részhalmaza az omega hatványhalmazának.

Huhh, nem vagyok a legokosabb, én ezt nem tudtam kibogozni. Itt nyelvtanilag (is?) hibádzik valami.

Miért az a definíció ami? Zavaros hogy mit kellene megválaszolni. Kicsit érthetőbben írd le legközelebb.

Oké. Továbbgondoltad. Elemi események halmaza esemény. De ezeknek is vennéd a halmazát azaz ( már nem!! elemi) események halmazát, ami szintén eseménynek tűnik teljesen jogosan. Aminek a valószínűségét az elemeinek elemei, azaz eredeti elemi események valószínűségével határoznád meg. Igazából látszik hogy ez csak felesleges elbonyolítás, mert események halmaza mint esemény valószínűsége megegyezik az események mint halmazok uniójával alkotott eseményével ahogy sejtetni véled, teljesen felesleges itt újabb hatványhalmazokat kreálni. Matematikailag tehát azt mondod hogy P({1,2}) igazából = P({1},{1,2}}) mert ez = P({1}U{1,2})= P({1,2}). Csak van egy kis bibi... Vedd észre, ez nem bizonyítás, hanem ... definíció, hogyan értelmezzünk egy ilyen valószínűséget. Persze teljesen természetesnek ható definíció így nem is annyira meglepő hogy ösztönösen ezt érezted. De nem ad semmi újat.

A második kérdésed még zavarosabb.

A megszámlálható végtelen elemű unió úgy kapcsolódik össze a véges elemű unió kritériummal, hogy a megszámlálható végtelen sok tagú unióban véges kivételével minden tag az üres halmaz/lehetetlen esemény. (A lehetetlen esemény diszjunkt önmagával, hisz önmagával való metszete üres...) így ebből következik a véges eset.

Hú. Oké. Akkor sorban menjünk a címkék szerint, amiket beraktál.

-> Halmazelmélet: A standard ZFC-halmazelméletben az egyetlen feltétlen egzisztenciaaxióma az, hogy létezik az üres halmaz. Erre felhúzva aztán axiomatikusan lehet konstruálni más halmazokat a feltételes egisztenciaaxiómákkal, ilyen például az, hogy minden halmaznak létezik hatványhalmaza. Ez feltételes egzisztenciaaxióma, mert ahhoz, hogy hatványhalmaz egyáltalán létezhessen, léteznie kell halmaznak. Ha egy A halmazra P(A) jelöli a szokásos módon az A hatvány hatványhalmazát, akkor az első kérdésed az, hogy mi értelme van P(P(A))-nak.

Kezdjük. Középiskolában, vagy akárhol a rendezett pár fogalmát valószínűleg úgy tanultad, hogy olyan (x,y) párok, ahol számít a sorrend. No, ez minden, csak nem precíz definíció. A precíz definíciót halmazelméletileg lehet megadni. Ha x és y egy A halmaz elemei, akkor

(x,y):={{x},{x,y}}, ami persze eleme P(P(A))-nak. Tehát a rendezett pár egy *halmaz*. Miért kell ez nekem? Mert akarunk függvényeket definiálni, megint nem ilyen pontatlanul, hogy "minden x-hez pontosan egy y-t rendel", mert mit jelent az, hogy hozzárendel?

Függvénynek nevezek egy olyan f rendezett párokból álló halmazt, hogy minden x-hez legfeljebb 1 olyan y létezzen, hogy (x,y)∈f.

És akkor bevezethetem itt a D és R halmazokat, ami rendre az értelmezési tartományt és az értékkészletet jelöli, D-t úgy definiálom, hogy azon x-ekből álljon, melyekre pontosan 1 y létezik, hogy (x,y)∈f, és ekkor azt írjuk, hogy f(x)=y. Az R-et pedig egyszerűen a {f(x):x∈D(f)} formulával definiáljuk.

-> Valószínűségi mező stb. Ez csak egy definíció.

Az (X,A,μ) halmaz valószínűségi mező, ha (X,A,μ) mértéktér úgy, hogy μ(X)=1, itt A jelöli az események, vagyis a μ-mérhető halmazok összességét. A valószínűségi változó/véletlen változó (attól függően, mennyire tanultad régen) pedig egyszerűen egy mérhető függvény. A valószínűségszámítást fel lehet építeni elég heurisztikusan is, de a pontos felépítést a mértékelmélet segítségével tudjuk megtenni. A Kolmogorov-axiómák igazából nem is kellenek, mértékelméleti terminológiával 1 mondatban össze lehet fogni az egészet. Azt aláírom, hogy a mértékelmélet nem a világ legkönnyebb dolga, és nekem is kihullott anno miatta néhány hajszálam, de ha matematika-fizika irányban tanulsz, előbb vagy utóbb, de inkább előbb szükséged lesz rá.