Hogyan kell levezetni (bizonyítani) ezt az összefüggést?

Oké. No, itt a probléma nem az, hogy ezt az összefüggést bizonyítsuk, ez csak formalizmus.

Először talán kezdem az x^-1=1/x azonosság, nyilván x nem nulla.

Ez abból adódik, hogy az x^-1 formális kifejezés az x valós szám multiplikatív inverzét jelenti a valós számtestben, és ez pedig egyértelműen meghatározott, márpedig x*1/x=1, és 1 ugye az (R\{0};×) multiplikatív csoport egységeleme, tehát jók vagyunk.

Aztán az x^(m/n)=n√x^n azonosságnál igazából elég igazolni, hogy

x^(1/n)=n√x

Ugye per definitonem az n√x azt az y valós számot jelöli, melyre y^n=x.

Márpedig az x^(1/n) formális kifejezést n-edik hatványra emelve x^(n/n)=x^1=x adódik. Tehát itt nincs gond.

A gond itt mélyebb természetű. Miért igaz az, hogy ha x>=0 tetszőleges, és n>=2 pozitív egész, akkor létezik olyan y valós, melyre y^n=x. Ez már komolyabb kérdés. Két út kínálkozik ennek a megvalósítására. Az egyik kicsit bonyolultabb, Cantor-axiómán alapuló klasszikus oroszlánfogás-módszer, a másik talán egyszerűbb, teljességi axiómán múló megközelítés pedig az, hogy vesszük az

A={y:y^k<x, k pozitív egész} és B={y:y^k>x, k pozitív egész} halmazokat, és meghatározzuk sup A-t, illetve inf B-t, és megállapítjuk, hogy ezek egybeesnek.

A hatvány ismétlődő szorzás. Ennek a jelölésére találtuk ki. Így nyilván ha a kitevő pozitív egész, akkor a hatvány értelmezése egyszerű:

7⁴ = 7*7*7*7

A szorzás sajátosságaiból fakadóan vannak a hatványozásnak összefüggései. Pl. a szorzás kommutativitása miatt:

(a*b)ⁿ = aⁿ * bⁿ

Pl.: (7*8)³ = 7*8 * 7*8 * 7*8 = 7*7*7*8*8*8 = 7³ * 8³

Vagy:

aⁿ⁺ᵐ = aⁿ * aᵐ

Pl.: 7³⁺² = 7*7*7 * 7*7 = 7³ * 7²

Más kitevőkre az un. permanenciaelv segítségével lehet kiterjeszteni a hatványozást. A lényeg az, hogy úgy értelmezzük a kérdéses kitevő jelentését, hogy a hatványozás összefüggései továbbra is érvényben maradjanak.

Pl.:

a⁰ = ?

Mivel:

aⁿ⁺ᵐ = aⁿ * aᵐ

Így:

aⁿ = aⁿ⁺⁰ = aⁿ * a⁰

Ha most mindkét oldalt elosztom aⁿ-nel, akkor:

1 = a⁰

Negatív szám esetén ugyanez a helyzet. Pl.:

aⁿ * a⁻ⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰ = 1

Leosztva aⁿ-nel:

a⁻ⁿ = 1 / aⁿ

~ ~ ~

A racionáis számok esetén leginkább a következő összefüggésekből lehet kiindulni (itt már kénytelen leszek írógépesebb jelölést használni):

(a^b)^c = a^(b*c)

Ergo:

(a^(1/n))^n = a^(1/n * n) = a^1 = a

Ha most n-dik gyököt vonok:

a^(1/n) = ⁿ√a

Valós számoknál meg határértékként lehet kiterjeszteni az értelmezést. Meg aztán el lehetne menni pl. a komplex számok világába, de itt én most megállnék. A hatványozásnál szerencsén van, mert a hatványozás összefüggései mentén egyféle módon lehet negatív, racionális, irracionális kitevőkre kiterjeszteni a hatványozás értelmezését. Az összefüggésrendszer ellentmondásmentes marad.

A gyökvonásra van egy kicsit elemibb összefüggés. Nevezetesen az, hogy ha „jók” a számok, akkor fel tudjuk fedezni, hogy az eredményt egy osztással is meg tudjuk kapni. Például:

harmadikgyök(4^15) = harmadikgyök(1​073​741​824) = 1024 = 4^5, és itt észrevesszük, hogy a kitevőben lévő 5-ös a 15/3-mal is kijönne.

Másik megközelítés: tudjuk, hogy a>=0 esetén tetszőleges pozitív egész n-re nthroot(a)^n = nthroot(a^n) = a. Ennek megfelelően az előbbi példa:

harmadikgyök(4^15) = harmadikgyök((4^5)^3), majd a fenti azonosságot használva 4^5 marad.

És ha ezt az eljárást általánosítjuk (hivatkozva a permanenciaelvre), akkor megkapjuk a kérdéses azonosságot.