Matematikában a Pi értéke mennyi? Hogyan számolható?
Sziasztok, nézegettem a Pi-ről némi információt és az értéke előző korszakokban másnak tekintették. Jó pár évtized a 3,1415... helyeslik. Viszont hogyan lehet számolni a Pi értékét.
Közelítő módszereket találtam, és kis is próbáltam egyet kettőt.
Arkhimédész módszere
Téglányösszegek módszere
A Leibniz-sorozat
Minél többször próbálkozunk annál pontosabb lesz az értét.
De azt honnan tudni, hogy mikor érjük el a pontos eredményt ?
Arra gondolok pl: Arkhimédész módszere módszerével számolva ha az n=100, akkor 3,1395... kapunk (itt a számológépem csak 10 számjegyet jelenít meg a kijelzőn) a tizedesjegyeket vizsgálva csak az 1-es jó értéke, de az azt követő 3-as már nem.
Ha az n=5000 vagy n=100000000, akkor hogy lehet eldönteni, hogy most hány tizedesjegyig jutottunk, hanyadik számjegyig jó ?
Ezek közelítő módszerek, de létezik olyan módszer, ami egy műveletből egy helyes értéket add vissza ? x-szer végzünk el egy adott műveletet vagy műveletsort és végeztével biztosan tudjuk, hogy plusz egy helyes tizedesértéket kapunk eredményül.
3,1415... így tovább.
válasza: válasza: válasza:Ahogy az egyes leírta.
Irracionális szám, ebből következik, hogy végtelen tizedes tört, és a számjegyei között nincs ismétlődő periódus vagy számtani sorozat.
Lehet nem voltam teljesen világos, nem tudom, hogy ők tarják-e még a rekordot. "Svájci kutatók" "Az egészen pontosan 62 billió 831 milliárd 853 millió 71 ezer 150 darab számjegy kiszámításához a kutatócsoportnak "mindössze" 108 napra és 9 órára volt szüksége."
Nem az a célom, hogy őket túl szárnyaljam, vagy még nagyobb magasságba repüljek.
Csupán előszeretnék állítani pl: 20 vagy 100 tizedesjegyig a Pi-t.
Fellelhető ennyi tizedesjegyig internetek, csak nem kimásolni szeretném hanem magam kiszámolni. (helyesbítve mobil app számolná ki)
A kérdésemben leírt közelítő módszerekkel az a bajom, hogy nem tudom hányszor kell elvégezni vagy éppen mekkora legyen az n értéke Arkhimédész módszerénél, hogy pl: 6 tizedesjegyig megkapjam a Pi-t.
Csak akkor ha megkeresem a neten fellelhető Pi-t x tizedesjegyig és összehasonlítom, de ismételten nem segít elő.
válasza:Irracionális szám értékét alulról és felülről becsléssel szokták megállapítani. Nyilván a pontos érték decimális alakban nem adható meg, de a decimális érték (ha ügyesek vagyunk) mindig beszorítható két érték közé. Akkor mondhatod, hogy x tizedesjegyig ismered a szám értékét, hogyha az őt közrefogó becslések tizedesjegyeit is ismered. Egy konkrét példa;
Próbáljuk meg gyök(2) értékét megadni valamennyi tizedesjegyre.
Az első körben észrevesszük, hogy 1<gyök(2)<2, mivel ha négyzetre emelünk, akkor 1<2<4 igaz lesz.
A következő lépésnél vizsgáljuk, 1,1^2, 1,2^2, ... 1,9^2 értékét, és megnézzük, hogy melyik kettő közé esik. azt találjuk, hogy 1,4^2<2<1,5^2, vagyis 1,4<gyök(2)<1,5. Tehát azt mondhatjuk, hogy a gyök(2) értéke 1,4..., a többi számjegyet nem ismerjük. Ebben az esetben szerencsénk van abban a tekintetben, hogy biztosan tudjuk, hogy 1,4-nél biztosan nagyobb és 1,5-nél biztosan kisebb az értéke, tehát már ebből biztosan tudjuk, hogy 1,4... alakú a szám.
De ha másik közelítő módszert választanánk, ami például azt mondaná, hogy 1,38<gyök(2)<1,43, akkor itt még nem tudnánk eldönteni, hogy most 1,3... vagy 1,4 alakú-e. Hogy ezt megtudjuk, további számításokra van szükség, vagyis közelíteni kell a két becslő számot egymáshoz.
A te esetedben kell keresned két olyan sorozatot, amelyek alulról és felülről becsülik a pi értékét, és ezeket összehasonlítva tudod megmondani x tizedesjegy pontossággal az értékét.
válasza:Például a Leibniz-sorozat pont olyan, hogy a pi/4 körül "ugrál", vagyis felette-alatta-felette-alatta. Ha most a Leibniz-sort L(n)-nel jelölöm, akkor elmondható az, hogy tetszőleges pozitív k egészre
L(2k-1)>pi/4>L(2k) teljesül.
Ez alapján például
L(1000001)>pi/4>L(1000002) igaz.
Tehát kiszámolod a sorösszeget az 1000001. és 1000002. tagig, majd szorzol 4-gyel, és megnézed, hogy hány tizedesjegyig azonosak a becslők.
Mondjuk pont ez a sorozat nem a legideálisabb, mivel viszonylag lassan konvergál, de a semminél több.
válasza: válasza:A Leibniz és az Euler sor eléggé lassan konvergál.
Leírok neked egy Machin-formulán alapuló számítást.
Két összeget kell kiszámolnod, és ezek különbsége adja ki pi közelítését. Ha 6 számjegy pontosságot akarsz, akkor minden számítást legalább 7 tizedes pontossággal végezz.
összeg1=0; alap1=3.2
Az alap1 1/1, -1/3, 1/5, -1/7, 1/9 ... részét hozzáadod összeg1-hez, úgy hogy közben mindig csökkented alap1-et 1/25-öd részére.
Kapod, hogy
összeg1 = 3.2 -0.0426667 +0.001024 -2.93e-05 +9e-07 -0.0 = 3.1583289
összeg2 = 0; alap2 = 4/239
Az alap2 1/1, -1/3, 1/5, -1/7, 1/9 ... részét hozzáadod összeg2-hez, úgy, hogy közben mindig csökkented alap2-őt 1/57121-ed (=1/239^2) részére.
Kapod, hogy
összeg2 = 0.0167364 -1e-07 +0.0 = 0.0167363
összeg1-összeg2= 3.1583289 - 0.0167363 = 3.1415926 (6 tizedesre pontos)
Addig kell összegezni, mígnem a 7. tizedes is 0 nem lesz.
Egyébként, n tizedesjegy pontossághoz kb. n*3/4 + 1, ill. n/4 +1 tagot kell kiszámolni.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2025, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!