Hány olyan háromjegyű pozitív egész szám van amelyben a számok összege és szorzata is egyenlő?

Gyakorlatilag az a kérdés, hogy az

a+b+c=a*b*c

egyenlet mikor teljesül, ahol a;b;c pozitív egyjegyű számok (nyilván 0 nem lehet).

Azt biztosan tudjuk, hogy az a+b+c összeg értéke legalább 1+1+1=3 és legfeljebb 9+9+9=27, tehát a szorzatról azt tudjuk, hogy ezen két érték közé kell esnie, vagyis

3 <= a*b*c <= 27

Most nézzük meg, hogy a 3 és 27 közé eső egész számok hogyan írhatóak fel három egyjegyű szám szorzataként;

-27=3*3*3, tehát lehet az, hogy 3*3*3 vagy 1*3*9

-26=2*13, ez nem fog működni

-25=5*5, tehát az 1*5*5 az egyetlen lehetőség

-24=2*2*2*3, itt már több lehetőség is van: 1*3*8, 1*4*6, 2*3*4, 2*2*6

-23=23, ez sem lesz jó

-22=2*11, megintcsak nem

-21=3*7, tehát 1*3*7

-20=2*2*5, tehát lehet 1*4*5 és 2*2*5

-19=19, nem jó

-18=2*9, tehát 1*2*9

-17=17, szintén rossz

-16=2*2*2*2, tehát lehet 1*2*8, 1*4*4, 2*2*4

-15=3*5, tehát 1*3*5

-14=2*7, tehát 1*2*7

-13=13, nem jó

-12=2*2*3, tehát lehet 1*2*6, 1*3*4, 2*2*3

-11=11, nem jó

-10=2*5, tehát 1*2*5

-9=3*3, tehát lehet 1*1*9 vagy 1*3*3

-8=2*2*2, tehát lehet 1*1*8 vagy 1*2*4

-7=7, tehát 1*1*7

-6=1*2*3, tehát 1*1*6 vagy 1*2*3

-5=5, tehát 1*1*5

-4=2*2, tehát 1*1*4 vagy 1*2*2

-3=3, tehát 1*3*3

Ezekből ki lehet válogatni a nekünk megfelelőket, hogyha más ötletünk nincs.

Ennek a megoldásnak a hátulütője az, hogy a különböző esetekben előfordulhat, hogy valamilyen szorzat lemarad, és nehéz azt bizonyítani, hogy minden esetet megtaláltunk. De ha más ötletünk nincs, akkor így is neki lehet kezdeni, és ha szerencsénk van, akkor a megoldásokat látva rájöhetünk egy egyszerűbb megoldásra is.

Másik megoldás: csináljuk azt, hogy valamelyik betűre mindig mondunk egy számot;

-Ha a=1, akkor

1+b+c = 1*b*c, vagyis

1+b+c = b*c, kivonunk c-t:

1+b = b*c-c, kiemelünk c-t:

1+b = c*(b-1), ha b=1, akkor 2=0 nem igaz, tehát b értéke nem lehet 1, egyébként pedig oszthatunk (b-1)-gyel:

(1+b)/(b-1) = c

Mivel a jobb oldal egész, ezért a balnak is egésznek kell lennie, tehát az a kérdés, hogy az (1+b)/(b-1) tört mikor lesz egész. Ehhez érdemes egy kicsit átalakítani a törtet:

(b-1+2)/(b-1) = (b-1)/(b-1) + 2/(b-1)= 1 + 2/(b-1)

Így már csak az a kérdés, hogy a 2/(b-1) mikor lesz egész, ez b=2 és b=3 esetén lesz így. Ezeket behelyettesítjük az egyenletbe, és kiszámoljuk c értékét.

-Ha a=2, akkor

2+b+c = 2*b*c, kivonunk c-t:

2+b = 2*b*c-c, kiemelünk c-t:

2+b = c*(2*b-1), végül osztunk (2*b-1)-gyel:

(2+b)/(2*b-1) = c

Itt is ugyanaz igaz, vagyis mivel c egész, ezért a törtnek is egésznek kell lennie. Itt érdemes egy másik taktikát választani az előzőhöz képest; nyilván a nevező itt inkább nagyobb lesz, mint nem, azokban az esetekben még csak elvi lehetőség sincs arra, hogy egészet kapunk, tehát azt kell megnéznünk, hogy a nevező mikor lesz kisebb a számlálónál (esetleg azzal egyenlő), vagyis a

2+b >= 2*b-1 egyenlőtlenséget kell megoldanunk, aminek megoldása

3>=b, tehát b lehetséges értékei 1;2;3, ezeket visszaírva kapjuk c-re a megoldásokat.

-Ha a=3, akkor

3+b+c = 3*b*c, kivonunk c-t:

3+b = 3*b*c-c, kiemelünk c-t:

3+b = c*(3*b-1), végül osztunk (3*b-1)-gyel:

(3+b)/(3*b-1) = c

Ugyanaz a dolgunk, mint az előbb, vagyis

3+b >= 3b-1, ennek megoldása 2>=b, tehát b értékei 1;2 lehetnek.

Ha a=4, akkor

4+b+c = 4*b*c, kivonunk c-t:

4+b = 4*b*c-c, kiemelünk c-t:

4+b = c*(4*b-1), végül osztunk (4*b-1)-gyel:

(4+b)/(4*b-1) = c, itt pedig

4+b >= 4*b-1, erre a megoldás 5/3 >= b, tehát b egyetlen értéke az 1 lehet.

Reményeim szerint innen már tudod folytatni.

Ezzel a körmöléssel biztosan megkapjuk az összes megoldást (már ha nem számolunk el valamit).

Általánosan:

a+b+c = a*b*c, kivonunk c-t:

a+b = a*b*c-c, kiemelünk c-t:

a+b = c*(a*b-1), ha a*b=1, akkor a=1 és b=1, tehát 2=0-t kapunk, ami nem igaz, egyébként pedig oszthatunk (a*b-1)-gyel:

(a+b)/(a*b-1) = c

Itt is igaz az, hogy a tört nevezője kisebb vagy egyenlő, mint a számláló, vagyis

a+b >= a*b-1, kivonunk b-t és hozzáadunk 1-et:

a+1 >= a*b-b, kiemelünk b-t:

a+1 >= b*(a-1), ha a=1, akkor 2>=0-t kapunk, ami igaz, tehát a értéke lehet 1. Ha ettől különböző megoldást keresünk, akkor osztunk (a-1)-gyel, így

(a+1)/(a-1) >= b-t kapjuk. Ezt a törtet már egyszer végigzongoráztuk:

1 + 2/(a-1) >= b

Itt már csak annyi a dolgunk, hogy a helyére beírjuk 2-9-ig a számokat, és visszafejtjük a többi ismeretlen értékét, illetve az a=1-re ugyanúgy le kell vezetni, ahogy már egyszer megtettem.

Pedig a megfogalmazásból egyértelműen kiderül a feladat, még akkor is, hogyha te a számjegyeket nem tekinted számoknak... ugyanis azt írja, hogy a amelyBEN, egy háromjegyű számban meg nyilván nincs n darab háromjegyű szám.

De megértem, hogy nem sikerült jól értened. Velem is előfordult már, hogy teljesen máshogy értelmeztem egy feladatot, pedig alapvetően korrektül volt megfogalmazva.