Mi a Zénó paradox feloldása?

Nem veszi számításba az időt :D

Tegyük fel, hogy Achilleusz 10m/s sebességgel halad, a teknős 5m/s sebességgel. Igazából innen már elég gyorsan ki lehetne számolni, hogy oké, akkor Achilleusz 20mp alatt 200 métert halad, a teknős pedig 100at és máris ugyanott vannak.

De végtelen sorral is kijön:

Achilleusznak 10 másodpercig kell futni, hogy először megfelezze a távot közte és a teknős között.

Ezután 5 másodpercig, hogy a táv megint feleződjön.

Utána 2,5 másodpercig, hogy a táv megint feleződjön.

Na most oké, hogy a táv folyamatosan feleződik közöttük és a végtelenben lesz a találkozásuk.

Viszont figyeljük meg a feleződések közt eltelt időt:

10mp, 5mp, 2,5mp stb. Ez is folyamatosan feleződik. Azaz az n-edik táv-feleződésig eltelő idő nem más, mint szumma(10+5+2,5+1,25+...10*(1/2)^(n-1)).

Mivel Achilleusz és a teknős végtelen feleződés után találkoznak ugye, ezért kiszámolható, hogy a találkozásig eltelt idő: szumma(n=0-tól végtelenig)(10*(1/2)^(n-1))=20mp.

> amíg a teknős mindig Achilleusz előtt lesz egy kicsivel.

A „mindig” szónál.

Én is ugyanazt tudom leírni, mint előttem, maximum más megfogalmazásban.

Mert ahogy írtad, 200 méter után fej fej mellett lesznek.

De ha így elfelezgetjük az távolságot 100, majd 50, majd 25, majd 12,5 méterekre, úgy egy végtelen számú tagból álló sorozatot kapunk, aminek az összege nem éri el a 200-at, csak konvergál hozzá.

Viszont nyilván – ha a sebességük állandó –, akkor az idő is ilyen felezgetéssel adódik össze, ha a 100 méterhez x idő kell, akkor az 50 méterhez x/2, majd a 25 méterhez x/4, ami szintén egy végtelen összeg, és ami szintén nem éri el az 2x időt, csak konvergál hozzá.

Tehát innen visszafordítva Zénon tulajdonképpen ezzel csak annyit mondott, hogy 2x időnél kevesebb idő alatt nem fogja Achilleusz megelőzni a teknőst. És ez így is van. De a 2x idő nem az örökkévalóság, az egy véges időtartam.

Nyilván a kor matematikai tudásával ez egy érdekes, felvethető paradoxon volt, azóta ki lett dolgozva a határérték számítás matematikája, aminél – ahogy előttem is írták – lehet, hogy egy végtelen tagból álló összeg értéke véges.