Adott 'A' felszínű egyenes körkúpok közül melyiknek maximális a térfogata?

Mivel a pík nélkül is elég rondák lesznek a képletek, hadd használjam a B = A/pí és W = V/pí jelölést, aztán a legvégén majd visszacsináljuk.

Felszín: B = r^2 + r * gyök(r^2 + h^2)

Ezt átrendezve r = -B/gyök(2B + h^2)

Térfogat: W = 1/3*h*r^2

Behelyettesítve az r-t: W = 1/3*h*B^2/(2B + h^2)

Ennek a függvénynek a h szerinti maximumát keressük, úgyhogy h szerint deriváljuk, és megnézzük hol lesz nulla. Ezen lokális szélsőértékhelyek valamelyike lesz a maximum. Sajnos elég csúnya a deriváltja:

B^2*(2B - h^2) / (3*(2B + h^2)^2) = 0

Ezt keservesen átrendezzük h-ra, és az jön ki, hogy

h = ± gyök(2B)

Ebből egyedül a pluszos eset értelmes (negatív magasság nincs), és nyilvánvaló, hogy ez egy maximum szélsőérték, hiszen a minimumok az elfajult h=0-nál (korong), és a h=végtelenben (félegyenes) vannak, amikoris a térfogat zéró. A kettő között így kell lennie egy maximumnak.

A B-t mostmár visszaalakíthatjuk A/pí formába, és ezzel a megoldás:

h = gyök(2A / pí) magasságú kúpnak lesz maximális a térfogata adott A felszín esetén.