Valaki elmagyarázná nekem, hogy mi is ez a Monty Hall Problem? (Videó)

Volt már nem egyszer kérdés; én egyszer így magyaráztam:

Amikor választunk egy ajtót, akkor a műsorvezető ne nyissa ki a kecskét rejtő ajtót, hanem csak tegye fel a kérdést, hogy szeretnénk-e inkább a másik két ajtót választani. Nyilván a két ajtóval több az esély a kocsira. Az is nyilvánvaló, hogy a két ajtó közül valamelyik a kecskét rejti, így lényegében nem változik az eredetihez képesti felállás, de ebben a megközelítésben kicsit jobban átlátható, hogy miért nagyobb az esély a kocsira a váltással.

Amit még szoktak mondani, hogy ugyanezt csináld meg 100 ajtóval és 99 kecskével, és a műsorvezető nyisson ki 98 kecskés ajtót. Itt látod, hogy miért éri meg váltani? Bár személy szerint ezt a megközelítést annyira nem szeretem, mert azt még külön be kellene látni, hogy az eredeti is pont ugyanúgy működik, mint ez az eset.

Nem rejthet mind a két megmaradt ajtó kecskét, csak az egyik. Hiszen már egy kecske előkerült, összesen meg tudjuk hogy csak kettő van, tehát egy maradt.

Továbbra is lehet a kocsi az eredetileg választott ajtó mögött is, csak az új információ birtokában erre fele annyi esély van, mint hogy a másik ajtó mögött van.

„Könnyebben átláthatunk a szitán, ha három ajtó helyett százat képzelünk el. Továbbra is egy mögött van autó, de most 99 mögött van kecske. Az első választáskor 100 esetből 99-szer kecskét választunk, és csak 1-szer autót. Ha ezután Monty 98 kecskét rejtő ajtót kinyit, 100 esetből 99-szer az egyetlen másik csukva hagyott mögött van az autó, és csak 1 esetben van mögötte kecske. Nyilvánvaló tehát, hogy érdemes váltani.”

[link]

vagy: „Egy másik lehetséges megfogalmazás: ha a játékos eredetileg kecskét választott, akkor biztos megmutatják neki a másik kecskét, így a váltással biztosítja, hogy nyerjen. Mivel eredetileg 2/3 esélye van kecskét választani, a váltással 2/3 eséllyel nyer.”

vagy: „Ahelyett, hogy Monty kinyit egy kecskét rejtő ajtót, az is működik, ha a két, játékos által nem választott ajtót összevonjuk. Így tkp. a játékos azt dönti el, hogy megmarad az eredetileg választott egyetlen ajtónál, vagy inkább vált, és mind a két másik ajtót kinyitja. Az pedig nyilvánvaló, hogy két ajtó kinyitásával jobbak az esélyeink az autót megnyerni, mint eggyel.”

vagy: „Megpróbálhatjuk sokszor képzeletben (vagy valaki segítségével ténylegesen) lejátszani a játékot. Első körben soha ne cseréljünk. Hamar észre fogjuk venni, hogy teljesen mindegy, melyik ajtót nyitja ki a műsorvezető, csak akkor fogunk nyerni, ha már elsőre is jól választottunk, azaz 1/3 eséllyel. Második nekifutásra mindig cseréljünk! A cserével csak akkor nyerünk, ha elsőre nem az autót választottuk ki (átlagosan 3 esetből 2-szer), ennek a valószínűsége pedig 2/3.”

[link]

Ugye a műsorvezető tudja, hogy melyik ajtó mögött van kecske.

Hogy lehet ezt a látszólagos paradoxont jól megfogni?

I. Két tippelő.

Mikor még három ajtó van, akkor Aladár és Béla is megegyeznek, hogy melyik ajtóra tippelnek. (Mindketten mondjuk az első ajtóra.) Az nyilvánvaló, hogy eddig a pontig mindkettőnek 33% esélye van nyerni. Oké, most Aladár kisétál a teremből. Hogy aztán Béla meg a műsorvezető mit csinál és mit nem közben, az Aladár szempontjából lényegtelen, ő maradt az elsőre kiválasztott ajtónál, így 33% eséllyel fog nyerni.

De ott van Béla. Béla szemszögéből az első ajtó nyerési esélye 33%. A második ajtó és a harmadik ajtó nyerési esélye is 33%-33%. Együttesen annak az esélye, hogy az autó a másik két ajtó valamelyike mögött van, annak az esélye 67%. A műsorvezető biztosan olyan ajtót nyit ki, ami mögött kecske van, így tulajdonképpen ezt a 33%-33% esélyt tolja el egy 67%-0% esélyre.

Na most hogy ez lezajlott visszajön Aladár a terembe. Nem is kell tudnia, hogy mit ügyködött Béla és a műsorvezető közben, ő az esetek 1/3-ban fog nyerni. Bélának viszont időközben leszűkült a választási lehetősége két lehetőségre. Az egyik az, hogy marad az eredeti választásánál, ami az esetek 1/3-ban lesz nyerő. Így nyilván az esetek 2/3-ban nem az első választás lesz a nyerő, tehát a másik ajtó választása lesz az.

II. Nem független események.

Azt kell belátni, hogy a műsorvezető döntése, hogy melyik ajtót nyissa ki nem független események, hiszen a játékvezető nem nyithatja ki azt az ajtót, amit a játékos választott. Tegyük függetlenné a az eseményeket.

Mondjuk legyen az 1. ajtó mögött a nyeremény.

A játékos leírja egy papírlapra, hogy melyik ajtót választja. Három lehetősége van: 1., 2., 3.

A játékvezető is leírja egy papírlapra, hogy melyik ajtót fogja kinyitni. Mivel ő csak kecskés ajtót nyithat ki, ezért neki két lehetősége van: 2., 3.

Ezek így függetlenek egymástól, és ezek minden kombinációja azonos eséllyel történhet meg:

1. Játékos: 1. ajtó. Műsorvezető: 2. ajtó. (Nyer, ha marad a választásánál.)

2. Játékos: 1. ajtó. Műsorvezető: 3. ajtó. (Nyer, ha marad a választásánál.)

3. Játékos: 2. ajtó. Műsorvezető: 2. ajtó. (Veszít, ha marad a választásánál.)

4. Játékos: 2. ajtó. Műsorvezető: 3. ajtó. (Veszít, ha marad a választásánál.)

5. Játékos: 3. ajtó. Műsorvezető: 2. ajtó. (Veszít, ha marad a választásánál.)

6. Játékos: 3. ajtó. Műsorvezető: 3. ajtó. (Veszít, ha marad a választásánál.)

Az esetek 2/3-ban a játékos veszít, ha kitart az első választásánál. A trükk a dologban az, hogy van két olyan azonos eséllyel bekövetkező eset, mikor a játékvezető nem nyithatja ki azt az ajtót, amit a játékostól függetlenül választott, mert ugyanazt választotta, mint a játékos:

3. Játékos: 2. ajtó. Műsorvezető: 2. ajtó. Mivel a műsorvezető nem nyithatja ki a 2. ajtót, így a 3. ajtót lesz kénytelen kinyitni.

6. Játékos: 3. ajtó. Műsorvezető: 3. ajtó. Mivel a műsorvezető nem nyithatja ki a 3. ajtót, így a 2. ajtót lesz kénytelen kinyitni.

Tehát mivel a műsorvezető döntése függ a játékos választásától, ezért nem azonos azzal az esettel, mikor valaki bejön az terembe az egyik ajtó kinyitása után, és akkor választ, mert az ő választása már független lesz, ő 50%-50% eséllyel fogja eltalálni a nyerő ajtót.

Utolsó megállapítás problémás.

Két ajtó közül háromféle módszerrel választhat a játékos.

1. Marad az eredeti döntésénél. Örökölt valószínűség, 1/3 esély.

2. Átvált a műsorvezető manipulált csoportjába. Ahol több esélye lesz, 2/3 pontosan.

3. Feldob egy érmét , fej: nem változtat, írás: változtat.

Ettől még a két ajtó nyerési esélye változatlan marad. Az ugyanis független attól hogy a játékos érti-e a helyzetet vagy sem.

Miután a valószínűség sorozatokra vonatkozik, az történik, hogy 1/3 és 2/3 esélyű ajtók közül választ a játékos fele-fele arányban. Aminek számtani átlaga 50%.

A megjegyzés azt sugallja, hogy a "független" választás átrendezi az esélyeket. Szerintem az csak illúzió.