Mit lehet tudni a matematikai "parajelenségekről"?

0-val osztás: Nem értelmezhető. Egyszerű logikai okai vannak.

(-1)! esetén a gamma-függvény segít.

Ebben mi a misztikus? [link]

Nullával való osztás nem értelmezhető. Ott segít a határérték számítás, adott esetben van határértéke – ami lehet nulla, lehet konkrét szám, lehet végtelen –, adott esetben meg nincs határértéke. Há' de ebben nincs semmi „parajeleség”. Kb. annyira nincs, mint ahogy abban sincs, hogy az x=x+2 egyenletnek nincs megoldása. Semmi extra nincs ebben, semmi misztikum.

A faktoriális csak pozitív egészekre van értelmezve egyértelműen. Ki lehet terjeszteni persze nem egészekre, negatív számokra is, ennek az egyik, de elméleti szinten nem az egyetlen lehetséges kiterjesztési módja a gamma-függvény. És az segít. Segít abban, hogy megmond, -1 faktoriálisa nincs értelmezve. Megint nem kaptunk semmi extrém dolgot, ez megint pont olyan profán dolog, mint az, hogy a kotangens függvény nincs értelmezve, ha x=0-ra, sőt ha akkor sem, ha x=2nπ | n∈ℤ.

A Faà di Bruno képlet szép és jó, meg érdekes, de megint nem érzem benne, hogy ez mitől lenne a matematikának bármilyen „parajelensége”.

A hiper-operátorokkal sem tudom mi baj van, azon túl, hogy nyilván nem egy szokványos, hétköznapi, sok helyen praktikusan használható ága a matematikának.

Nem érzem én sem ezekben azt, hogy ezek a matematika „parajelenségei” lennének. Ha van valami, akkor talán a logika, meg a naiv halmazelmélet különböző paradoxonjai azok, de inkább csak filozófiai nézőpontból. Meg talán Gödel nemteljességi tételei. A többi maximum érdekes, kevésbé közismert, kevésbé népszerű területei a matematikának, meg amiket felsoroltál az egy-egy érdekes kérdéskör. De ez is inkább pszichológiailag az, mert megszoktuk, hogy a matek házi feladatnak a legtöbbször nem az a megoldása, hogy nincs megoldás, míg úgy a matematikában ez nem szokatlan.

Ha jól látom, minden problémád azon alapul, hogy valamit szeretnél a "természetes" környezetén túl is értelmezni. Ez egy teljesen természetes vágya egy matematikusnak, éppen ezért vannak kompley számaink, törthatványaink, gamma fügvényünk, stb.

De amikor kiterjesztünk valamit, akkor általában le kell mondnanunk valamilyen tulajdonságról. Példáu tök jó, hogy 3^4=3x3x3x3, de e nélkül is tudunk élni, ha cserébe 3^4,5 is értelmezhetővé válik.

Szóval kiterjeszthetnénk az osztást 0-ra, vagy a faktoriálist -1-re, de azzal lényeges tulajdonságokat veszítenénk el (ax=b megoldása x=b/a, illetve az n!=n(n-1)!). Ezek pedig általában fontosabbak, mint az, hogy kiterjesszük az értelmezési tartományt.

A másik két példádban nem vagyok elég jártas, hogy mit veszítenénk a kiterjesztéssel.

> A nincs megoldás nem megoldás, ezt nem fogadom el válaszként

Nos, ez a te problémád, nem a matematikáé. Pl. sokan megpróbálták – sőt megfelelő tudás, belátás nélkül naiv módom ma is próbálják – négyszögesíteni a kört. (Azaz euklideszi szerkesztéssel adott sugarú körrel azonos területű négyzetet szerkeszteni.) Sokan mondták, hogy a „nincs megoldás, nem megoldás”, és próbálkoztak tovább. Hiába. Később persze bizonyítva lett, hogy ez nem lehetséges, és ez a megoldás. Az a megoldás, hogy nincs megoldás. Ha valakinek ez nem tetszik, hát hajrá, próbálkozzon tovább. Csak kb. annyi értelme van, mint megpróbálni magadat tarkón fejelni.

De ahogy írtam, lehet ez a matematika oktatás szemléletéből ragad rá emberekre, így rád is. Matematika házi feladatban, dolgozatban zömében olyan feladatok vannak, aminek van megoldása. Néhány terület van, ahol jellemzőek a megoldás nélküli feladatok, de ott akkor azt a tudást ellenőrzik. (Pl. mikor a másodfokú egyenlet megoldóképletében a diszkrimináns negatív.) Én is láttam itt olyan feladatot, ami valami ilyesmi volt.

1. a. Szerkessz egy háromszöget, aminek az oldalai 2, 4 és 8 egység hosszúak.

1. b. Szerkeszd meg ennek a háromszögnek a súlypontját.

Ha szépen leírom, hogy egy háromszög bármely két oldalának össze nagyobb kell, hogy legyen, mint a harmadik oldal, és ez itt nem áll fenn, 2+4<8, így nem lehet ilyen háromszöget szerkeszteni, akkor két reakció a jellemző:

1. Valahogy biztos lehet, bizonyára én vagyok hülye a matekhoz. Már csak onnan is biztos, hogy lehet ilyen háromszöget szerkeszteni, mert van b) része is a feladatnak. Csak nem lenne az ott, ha nem lenne ilyen háromszög.

2. A feladat hibás, félrenyomtatták, rosszul adták meg.

Pedig lehet pont az volt a feladatíró szándéka, hogy lásd, van, amikor egy feladatnak nincs megoldása. Sőt van, hogy további feladatok is lennének, amiknek ebből fakadóan szintén nincs megoldása. De ezt felételezni szinte már abszurdnak tűnik. Vagy KELL lennie megoldásnak, vagy akkor a feladat hibás. Fel sem merül, hogy a feladat igenis jó, és az a megoldás, hogy nincs megoldás.

És igen, a gamma-függvénynek nincs megoldása x=-1 esetén. Ha nem tudod megemészteni, akkor köpd ki. Ettől még ez tény, semmi parajelenség nincs benne, ez így van.

Félig offtopic, de hadd meséljek el egy történetet. Szakközépiskolában lett egy szakmai óránk. Már meg nem mondom, mi volt a tantárgy neve. Némi elméleti felelevenítés után párokban dolgozva kellett megmérni egy audioerősítő áramkör néhány jellemzőjét, így a teljesítményerősítést is. A tanár megkérdezte, hogy a mérések alapján melyik párnak mi jött ki eredményül:

1. diák: Az erősítő teljesítményerősítése 1,18.

Tanár: Állj fel! … Ülj le! … Állj fel! … Ülj le! … Állj fel! … Most nézzétek meg…

2. diák: A mi áramkörünk erősítése 0,92.

Tanár: Lila ló nincs. Illetve van, mert ha lefested a lovat lilára, akkor van lila ló. No, de menj ki vele az utcára…

Elkönyveltük, hogy a tanár hülye, nincs ki a négy kereke. Aztán egy hónap után kezdtem kapiskálni, hogy miről is van szó:

Én: Tanár úr, lehet, hogy ebben az áramkörben hibás a tranzisztor?

Tanár: Hát előfordulhat…

Én: És nincs véletlenül egy másik áramkör?

Tanár: Az nincs. De ilyen tranzisztorral tele van a szekrény.

Én: Akkor kivehetünk egyet és egy forrasztópákát?

Tanár: Tessék, ott találjátok a harmadik sorban bal oldalt.

Mjad a tanár halkan odasúgva: (Na erről van szó. Belőletek még lehet jó mérnök.)

Mert megszoktuk, hogy van egy feladat, abban minden adat megvan, ami a megoldásához kell, és pontosan annyi adat van, amennyi kell, semmivel sem több, sem kevesebb. És megszoktuk, hogy ezt egyszerűen csak meg kell oldani. Nos esetünkben hangsúlyozottan audioerősítőről volt szó. A legtöbben szépen lemérték azt, amit szokás lemérni, kiszámoltak egy eredményt, és bemondták. De párunkban is csak lassan fogalmazódott meg a kérdés, hogy mégis ki a fene akarna egy audiojelet 1,18-szorosára, pláne 0,92-szeresére erősíteni? Hát erősítő az ilyen egyáltalán?

Mert nem az volt a valódi feladat, amit a tanár feladott. Arra egy robot is képes. A valódi feladat az volt, hogy észrevegyük, hogy maga a feladat megoldása egy ordító hülyeség, hogy ez nem megoldása a feladatnak, hogy észrevegyük, hogy szándékoltan rossz, hibás áramköröket kaptunk, és megtaláljuk, hogy mi a hibás alkatrész benne.

Oké, itt volt matematikai értelemben vett megoldása a feladatnak, csak gyakorlati szempontból az ordító hülyeség volt, nem megoldás. Meg olyan értelemben is volt megoldása, hogy a tranzisztor kicserélésével normális, racionális érékeket mértünk. De magának az alap feladatnak a gyakorlati szempontból vett megoldása az, hogy nincs megoldás, hogy ez nem egy erősítő, hanem maximum egy söralátét, de annak sem a legpraktikusabb. Erre kellett ráérezni és ezt kellett befogadni, ez volt a „metafeladat” a ténylegesen feladott feladat mögött.

Építő volt, mindjárt megértettük a tanár finom utalásait, hogy hogyan akarta kifejezni, hogy amit X. Y. kiszámolt, az mérés szempontjából lehet, hogy tökéletes, de a gyakorlatban ordító hülyeség. Mindjárt értettük, hogy ezek a „zagyvaságok” utalások voltak, nem akart a tanár direktben rávezetni minket a valódi problémára, csak érzékeltetni akarta, hogy itt valami nagyon nem stimmel. Csak mi úgy könyveltük el, hogy a tanárral nem stimmel valami, de így aztán kiderült, hogy nem, nem vele nem stimmel valami, velünk nem stimmelt valami, akik gondolkodás és kritika nélkül elfogadtuk egy mérés és számítás eredményét.

~ ~ ~

Valahogy hiányolom a tankönyvekből is pl. az adattöbblettel rendelkező feladatokat. Pl.:

Hány liter víz van az akváriumban, ha az 2/3-ig van megtöltve? Az akvárium magassága 25 cm, a szélessége 40 cm, a mélysége 30 cm, a testátlója 55,9 cm, az üveg felülete 4700 cm², a víz hőmérséklet 23 °C, a sűrűsége 997 kg/m³.

Meg órákról hiányolom a hiányos feladatokat. Pl.:

Hány liter víz van a henger alakú tartályban, ha az tele van és a tartály átmérője 60 cm. Nyilván itt vissza kellene kérdezni, hogy „de mennyi a magassága?”. Mindjárt kreatívabb a feladat, mert ehhez érteni is kell mit csinálsz, tudni kell, hogy milyen adatra kellene rákérdezni. Nem elég kikeresni egy képletet valahonnan, vagy találomra összeszorozni ezt meg azt, aztán hátha bejön.

Meg persze a megoldhatatlan feladatokat is hiányolom. Pl.:

Egy kör átmérője 9 cm, a kerülete 50 cm. Mekkora a kör területe?

De amíg nincsenek ilyenek, addig nyilván érthető bizonyos szempontból ez az „az nem megoldás, hogy nincs megoldás” jellegű hozzáállás. Érteni érthető, de a valódi életben nagyon sokszor nem igaz.

@Kérdező leírták előttem is, csak ismételni tudnám 2*Sü-t.

a) (-1)! esetén pedig segít a gamma-függvény, csak végig kellene gondolnod. Hogyan is kaptuk meg? Mit jelent, mit értelmez? Hasonló függvénnyel ezután előállhatsz, ami ráadásul lehet, hogy valamilyen szempontból "jobb" is, mint a gamma-függvény.

b) Attól, hogy találtál valami hülye problémát, ezek nem lesznek misztikusak, sem a hivatkozásaid "parák". De ha nagyon akarod, erőlködhetünk, legfeljebb megszakad mindenki. Van, aki az erőlködéstől, van, aki a röhögéstől.

Például egy operátor logaritmusát tudod-e értelmezni?