A megszámlálhatóan végtelen és a nem megszámlálható között mi a különbség?

Nem tudom mennyire precíz vagy milyen szintű választ szeretnél. Szerintem érdemes rá úgy gondolni kezdetben, minthogy megszámlálhatóan végtelen egy halmaz számossága, ha az elemeik sorrendbe rendezhetőek -vedd észre hogy sorrend esetén minden elemnek vagy egy sorszáma, mely egy nemnegatív egész szám-.

Pl.: A pozitív páros számok számossága megszámlálhatóan végtelen, és ugyanannyi a számossága mint a pozitív egészeknek.

De a valós számok halmaza kontinuum számosságú, nem lehet sorrendbe rendezni. Például, ha csak a nem negatív számegyenest veszem, mi lenne az első tag a nulla után, mivel a teljesség miatt azt tetszőlegesen approximálhatom.

Ennek a sorrendiségnek egy másik, haladottabb nyelvű megfogalmazása: Egy halmaz megszámlálhatóan végtelen, ha létezik egy bijektív leképzés a természetes számok halmaza között. (Bijektív = injektív és szürjektív) Szürjektív = Mindegyik elemnek van sorszáma, injektív = egy elemhez nem tartozik két sorszám és fordítva, minden természetes számhoz (sorszámhoz ha így gondolunk rá) tartozik egy elem és egy sorszámhoz nem tartozik két db elem.

Mit jelenet megszámolni valamit? Azt, hogy sorba lehet venni, hogy ez az első, ez második, ez a harmadik, stb… Bármelyik elemről meg tudod mondani, hogy az hányadik a sorban. Arról van szó, hogy egy megszámolhatóan végtelen halmaz elemei és a természetes számok halmazának elemi között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést lehet tenni. Minden természetes számhoz tartozik pontosan egy a másik halmaz elemei közül, és a másik halmaz minden eleméhez pontosan egy természetes szám tartozik.

A nem megszámlálhatóan végtelen halmaz esetén nem lehet sorba venni a halmaz elemeit. Biztosan lesz legalább egy olyan eleme ennek a halmaznak, ami a természetes számok halmazával való bármilyen megfeleltetés esetén pár nélkül marad.

A természetes számok nyilvánvalóan megszámlálhatóan végtelen halmazt alkotnak. A racionális számok is. Ennek a belátása már kicsit trükkösebb, de a következő ábra megmutatja, hogyan lehet sorba rendezni, sorszámmal ellátni a racionális számokat: [link] . Itt bármelyik racionális számot is veszed – mondjuk akár az 5743/22917, arról meg tudod mondani, hogy az hányadik az ezzel a módszerrel való felsorolásban.

A valós számok viszont nem megszámlálhatóak. Bármilyen sorrendet is tételezel fel felsorolásként, lehet konstruálni olyan számot, ami biztosan nincs benne a felsorolásban. Lásd: [link]

(Ugyanez látható az első válaszoló által linkelt videóban.)