Mi a valószínűsége annak, hogy?

Feltesszük, hogy ugyanarra a számra gondol mindig. Hogy több értelme legyen a feladatnak, azt mondom, hogy ha eltaláltad egyszer a számot, akkor vége a játéknak. Naponként lebontjuk a valószínűségeket:

1. eset: már az első napon eltalálod a gondolt számot, ennek valószínűsége 1/100.

2. eset: a második napon találod ki, ekkor az első napon 99/100 eséllyel mondasz rossz számot, a második napon 1/99 eséllyel találod el, tehát a valószínűség: (99/100)*(1/99)=1/100

3. eset: ugyanúgy, az első napon 99/100 eséllyel mondasz rosszat, a másodikon 98/99 eséllyel mondasz rosszat, a harmadik napon 1/98 eséllyel találod el, így annak a valószínűsége, hogy a 3. napon találod el, (99/100)*(98/99)*(1/98)=1/100.

Ezek után már nem túl nehéz kitalálni, hogy minden esetben 1/100 lesz annak a valószínűsége, hogy az adott napon kitalálod.

Az esetekben kapott valószínűségek összege adja a valószínűséget, tehát 50 nap alatt 50*(1/100)=50/100=1/2=50% az esélye annak, hogy kitalálod a gondolt számot.

1 - 0.99^50 = 0.395

Azaz 39.5% hogy eltalálod legalább egyszer. A képlet úgy jön ki, hogy a 0.99^50 az 50 hiba valószínűsége (50 db 99%-os valószínűségű esemény egymástól független bekövetkezése)

> Aha, köszi, és ha minden nap más számra gondol ?

Az első válasz ott sántít, hogy feltételezi, hogy minden nap ugyanarra a számra gondolt a barátod. De érzésre te nem erre kérdeztél rá.

Egyetlen számkigondolás és egy tipp az egy független esemény. 1:100 eséllyel fogod eltalálni a kitalált számot, akárhány számkitalálós kört játszottatok előtte, vagy fogtok utána. Ergo egy találat esélye 1:100, vagy ha úgy jobban tetszik 0,01, vagy ha úgy tetszik jobban, akkor 1%. A számkitalálás és tippelés ilyen szempontból olyan, mintha azt néznénk, hogy egyest dobsz-e egy 100 oldalú dobókockával.

Hogyan lehet kiszámolni egy valószínűséget? Úgy, hogy azonos valószínűségű eseményeket vizsgálsz, és ezekből veszed a kedvező eseményeket és ezeket arányosítod az összes lehetséges események számával.

Eltalálni sokféleképpen lehet 50 játékból a barátod számát. Lehet, hogy pontosan egyszer találod el, lehet, hogy kétszer is, de szélsőséges esetben lehet, hogy 50-szer is. Nyilván ezeket külön-külön kiszámolni, összegezni kicsit macerás lenne.

Érdemes tehát megfordítani a kérdést. Mekkora az esélye, hogy egyszer sem találod el a barátod számát. Ezzel már könnyebb számolni. 99:100 = 0.99 = 99% az esélye, hogy egy játékból nem találod ki. Több játék esetén ezek a valószínűségek összeszorzódnak.

Két játék esetén 0,99 * 0,99 = 0,9801 = 98,01% lesz az esélye, hogy nem találod el egyszer sem a kitalált számot.

Három játék esetén 0,99 * 0,99 * 0,99 = 0,970299 = 97,0299% lesz az esélye, hogy nem találod el egyszer sem a kitalált számot.

50 játék esetén 0,99⁵⁰ = 0,6050 = 60,5% lesz az esélye, hogy nem találod ki egyszer sem a kitalált számot.

Nyilván a maradék 1-0,6050 = 100% - 60,5% = 39,5% esetben legalább egyszer – de lehet, hogy többször – ki fogod találni a barátod által gondolt számot.

Paraméteresen felírva az esély:

P(n) = 1 - 0,99ⁿ

Ha a barátod 1 és m között gondol számot n alkalommal, akkor:

P(m,n) = 1 - [(m-1)/m]ⁿ