Egyenlőtlenség bizonyítása teljes indukcióval?

Ellenpélda: n=1, x=3

3^2-2*3+1=4 Nem kisebb vagy egyenlő mint 0.

Amúgy ha teljes indukciót akarsz alkalmazni, akkor egész számokra általában a negatív és a pozitív irányban szokás belátni az állítást; vagy az abszolút értékre, ha lehetséges.

Racionális számok eseté a dolog kicsit bonyolultabb. Minden racionális szám felírható P/Q alakban, ahol P és Q pozitív egészek. Így ha be tudod látni külön-külön P-re és Q-ra is (egymástól függetlenül) a teljes indukciós bizonyítást, akkor nyertél :)

Az irracionális számok esetén a kérdés is irracionális :D A teljes indukciót _megszámlálhatóan_végtelen_ halmazokra alkalmazhatjuk.

A teljes indukció kizárólag egész számok esetén alkalmazható.

Érdektelen, hogy egyenlőtlenséget, egyenlőséget, vagy mit kívánsz bizonyítani.

A teljes indukció lényege a következő:

1. ellenőrizzük az állítást egy konkrét esetre, mondjuk n=1-re. Az állítás teljesül (ha nem, akkor az állítás téves, mint például a tiéd).

2. feltételezzük, hogy az állítás n-re teljesül, és ebből levezetjük k=n+1 esetére. Ez úgy történik, hogy minden n helyett k-t tekintünk, és az n+1-re átírva addig csűrjük az állítást, míg ki nem jön n-re. És beláttuk, ha l n-re igaz, akkor n+1-re is.

3. Ezért most mondhatjuk. n=1-re kipróbáltuk, jó. Mivel az előbbiek szerint ebből kijön a következő, tehát ha k=n+1=1+1=2, arra is igaz. És bármilyen számra ugyanezt megtehetjük.

Ha az egyenlőtlenséged helyes lenne, akkor ezt a problémát úgy is kezelhetnénk, hogy ez egy f(n;x) függvény, ahol x paraméter. Ekkor függvényvizsgálattal bármely valós x-re eredményre juthatunk, sőt, x bármi lehet, csak akkor a módszerek mások lesznek. Ha például x egy halmaz, akkor is megoldhatjuk a problémát, feltéve, hogy kellő halmazelméleti ismeretekkel rendelkezünk.