Mennyi idő alatt éri el a Földet? (Fizika, változó gyorsulás)

de kijön...

N*m^2/kg^2 x kg /m^2

= N/kg

és N=m*kg/s^2

tehát m*kg/s^2/kg = [m/s^2] tehát gyorsulás...

a(h)-t integráltál h szerint, mit vártál, mit kapsz?

Ez így v^2 jellegû.

Nyilván ha F(h)-t integráltál volna h szerint, akkor Joule jellegût kaptál volna, ez így meg J/kg jellegû -- ha beszorzod a tárgy tömegével, akkor kiadja a mozgási energiát.

Valami mást kell integrálnod ahhoz, hogy idõt kapj.

Ez egy abszolút nemtriviális kérdés. A megoldást egy differenciálegyenlet rejti, amelyet t(r) függvényre tudunk megoldani - szerencsére most erre van szükség. Tehát az időt a hely függvényében tudjuk megmondani, míg az inverz függvénynek nincs zárt alakú megoldása.

A megoldandó diff egyenlet:

r''(t) = -G*m/r^2(t)

Itt ' most az idő szerinti deriválást jelenti, tehát r''(t) a gyorsulás időfüggvénye. Fontos a negatív előjel! A zuhanás ugyanis a kisebb sugarak irányában történik.

Ezt úgy lehet megoldani, hogy r'(t)-vel beszorzunk:

r''*r' = -G*m*r'/r^2

Amit így is lehet írni:

d/dt(1/2*(r')^2) = G*m*d/dt(1/r)

Mindkét oldalt integrálva kapjuk, hogy:

1/2*(r')^2+1/2*v0^2 = G*m*(1/r+1/r0).

Itt v0 és r0 integrálási állandók, azaz a kezdeti távolság a Föld középpontjától és a kezdeti sebesség.

Átrendezve már csak egy elsőrendő diff egyenletünk marad:

r'(t) = ( 2*G*m*(1/r+1/r0)-v0^2 )^(1/2)

A jobb oldalon egy négyzetgyök szerepel (1/2 hatvány). Ez már szétválasztható változójú diff egyenlet, tehát elvileg megoldható és az eredmény zárt alakban megadható. A Wolfram Alpha-val ki is lehet integrálni. Ehhez határozott integrált kell kiszámítani x0-tól R-ig, a Föld sugaráig, hiszen eddig zuhan a test. Rendkívül undorító képlet fog kijönni, de legalább kijön.

Ez utóbbi viszont nagyon jó ötlet.

A keringési idõ ugyanannyi, mintha egy fele ekkora körpályán mozogna (Kepler-törvény), és numerikusan (géppel kiintegrálva) nem nehéz meghatározni azt sem, hogy hova tart a 20 000 km hosszú ellipszis 6/20-ad részének területének az aránya az egész ellipszis területéhez képest ha a kistengelye tart 0-hoz, és ezzel kell szorozni a keringési idõt.

Furcsa hogy ezzel nem találkoztam még sehol.