Miért nincs 5 ilyen szám?

0

4

8

12

16

20

24

28

32

...

Bármelyik kettőt kiválaszthatod, a kettő különbsége osztható lesz 4-gyel.

Minden számot fel tudunk írni 4n+m alakban (ahol n egész szám, m 0 és 3 közötti egész szám, beleértve a 0-t, és 3-ast is.

Egy szám akkor lesz osztható – maradék nélkül – 4-el, ha m=0.

Oké, tegyük fel, felírtál négy számot:

a := 4m + 0

b := 4n + 1

c := 4o + 2

d := 4p + 3

Most vagyunk gondban. Az ötödik szám így fog kinézni:

e:= 4q + x

De mivel x csak 0, 1, 2 és 3 lehet, valamelyikkel egyezni fog. Mondjuk legyen e := 4q + 1

(Fogalmazzunk úgy, hogy az ötödik szám 4-el osztás utáni maradéka megegyezik valamelyik előző négy szám 4-el való osztás utáni maradékával.)

Mondjuk x:=1 esetén a különbség így alakul b-vel:

e-b = 4q + 1 - (4n + 1) = 4q + 1 - 4n - 1 = 4q - 4n + 1 - 1 = 4(q-n) + (1-1) = 4(q-n) + 0

Mivel q és n egész számok voltak, ezért q-n is egész lesz, ergo e-b osztható lesz maradék nélkül 4-el:

e-b = 4(q-n)

(e-b)/4 = q-n (Ahol ugye q-n egész.)

De bármilyen x-et is választasz az ötödik számnak, az valamelyik másik szám maradékával azonos lesz. Pl. x:=3 esetén:

e-d = 4q + 3 - (4p + 3)

e-d = 4q + 3 - 4p - 3

e-d = (4q-4p) + (3-3)

e-d = 4(q-p) + 0

e-d = 4(q-p)

(e-d)/4 = q-p

(Ahol q-p megint egész, hiszen m,n,o,p és q is mind egész számok.)

4 féle 4-es maradék van (0,1,2,3) és 5 számod. Tudod azt, hogy ha két szám ugyanazt a maradékot adja 4-gyel osztva, akkor a különbségük osztható lesz 4-gyel. (Ezt, ha nem tudod, könnyen át lehet gondolni, érdemes, szükséged lesz késõbb rá.)

A skatulyaelv miatt az 5 szám között lesz legalább 2, akiknek ugyanaz lesz a 4-es osztási maradéka. (A skatulyaelvet is érdemes átgondolni. Nagyjából úgy lehet elképzelni, hogy ha ott van bal oldalon az 5 számod egymás alatt (tegyük fel, mégis találtál 5 ilyen számot), jobb oldalon a 4 darab osztási maradék (0,1,2,3) egymás alatt, és a bal oldali 5 számot mindet összekötöd a neki megfelelõ osztási maradékkal, akkor a jobb oldali négy szám között lesz legalább 1, akibe 2 bal oldalit kötöttél). Kész.

Érdemes lehet még kimondani az állítást teljes általánosságában: ha megadsz N darab számot, akkor biztosan lesz közöttük 2 olyan, akiknek a különbsége osztható n-nel, ahol n<N (a kérdesben n=4 és N=5-tel szerepel ugyanez).