A "párhuzamosság" reláció miért nem antiszimmetrikus?

A félreértéseket az okozza, hogy az „antiszimmetrikus reláció” fogalmát nem lehet csak a szóból kikövetkeztetni, hanem ismerni kell a szokásos értelmezését.

Vannak relációk (R), melyek az alaphalmaz valamely a,b elemeire (a=b is lehet)

nem állnak fenn, vagy

aRb igaz, de bRa nem, vagy

fordítva,

de esetleg aRb és bRa is igaz

Egy R reláció antiszimmetrikus, ha bármely a,b-re:

aRb és bRa esetén a=b

[link]

(Avagy, különböző elemeknél a reláció nem állhat fenn mindkét irányban.)

Legismertebb példák.

A valós számok körében a „≤” reláció

a≤b és b≤a csak úgy lehet, ha a=b.

(„≥” is ilyen, de „<” és „>” nem.)

Halmazoknál a „⊆” reláció

A pozitív egész számok körében „|” az oszthatóság.

Ellenben a sík (vagy tér) egyenesei között a párhuzamosság „||” nem antiszimmetrikus, mert

a teljesen különböző e és f egyenesekre esetében is lehet e||f és f||e.

A relációk fogalmát javaslom áttanulmányozni. Ismerni kell, a homogén, bináris, reflexív, írreflexív, szimmetrikus, asszimetrikus, antiszimmetrikus, tranzitív, dichotóm stb. relációk fogalmát és mindegyikre példákat kell látni.

[link]