Megszámlálhatóan végtelen, vagy megszámlálhatatlanul végtelen sok halmaz létezik?

Megszámlálhatatlanul végtelen sok valós szám van, de megszámlálhatóan végtelen sok természetes szám. Na de mi a helyzet a halmazokkal? Én úgy gondolom, hogy végtelen sok halmaz van. Hiszen egy halmaznak lehet eleme akármelyik szám. És mivel végtelen sok szám van, ezért gyakorlatilag a végtelen sok számból akármelyik szám tartozhat egy halmazba. Ez esetben viszont végtelen sok halmaz van, hiszen végtelen sok halmaznak kell lennie ahhoz, hogy végtelen sok számot külön halmazba soroljunk. De vajon megszámlálhatóan, vagy megszámlálhatatlanul végtelen sok halmaz van? Végül is az összes valós számot halmazba lehet sorolni, sőt, egy halmazba akár végtelen sok elem is kerülhet. Pl. a valós számok halmaza. De akár lehet egy olyan halmaz is, amely tökéletesen megegyezik a valós számok halmazával, csak nem tartalmazza a 49-es számot. És akkor máris egy másik halmazról beszélünk. Tehát eszerint a gondolatmenet szerint még a valós számok számosságánál is több halmaz van. Tehát halmazól van a legtöbb.