Kamatos kamat számítása?

A kezdeti tartozás A = 2000000

A kamat 5%, azaz a tartozást minden kamatszámításnál 1.05-tel kell szorozni. Ezt nevezzük most w-nek (w=1.05).

A törlesztés a = 180000.

Az elején a tartozás A. Az év elején ebből a tartozásból Aw lesz. Év végére pedig Aw-a

Tehát a tartozás

Az első év végén: Aw-a

A második végén : (Aw-a)w-a = Aw^2 - a(w+1)

A harmadik végén: ((Aw-a)w-a)-a = aw^3 - a(w^2 + w + 1)

Általánosan az n-edik év végére

Aw^n - a(w^(n-1) + w^(n-2) + ... + w + 1)

Az "a" után zárójelben következő kifejezés egy n elemű mértani sorozat, aminek első eleme 1 és kvóciense w. A mértani sor (a sorozat összegzése n elemre) így néz ki:

1 + w + w^2 + ... + w^(n-1) = (w^n - 1)/(w-1), ez alapján pedig az n-edik év végei tartozást átírhatjuk:

Aw^n + a(w^n - 1)/(1 - w)

= Aw^n + w^n*a/(1-w) - a/(1-w)

= w^n*(A + a/(1-w)) - a/(1-w)

= 0 (ezt tesszük egyenlővé nullával, mert kíváncsiak vagyunk mikor lesz ennyi)

w^n*(A(1-w) + a)/(1-w) - a/(1-w) = 0

=w^n*(A(1-w) + a) - a = 0

Ebből:

w^n = a/(A(1-w) + a)

n = logw a/(A(1-w) + a)

Behelyettesítés után n = 16.62

Tehát a 17. évben lesz törlesztve teljesen.