Hogy határoznátok meg az alábbi kétváltozós függvény maximumát és minimumát az alábbi halmazon?

A függvény átírható (x+y)^2 alakra, ennek x=-y esetén van minimuma, mivel akkor 0, egyébként pozitív. Ha x=-y és x^2+y^2<=4, akkor (-y)^2+y^2=4,

2y^2=4

y=2 vagy -2, tehát a függvénynek 2 helyen lesz minimumhelye: {x;y}=({-2;2};(2;-2}), értéke 0.

Mivel maximumot keresünk, és a függvény minden tagja pozitív, ezért a nemnegatív számok körében keressük az x;y-okat, és ha már összeg van, akkor a megkötés maximumával érdemes számolni, tehát x^2+y^2=4 esetével. Ha már ezzel számolunk, akkor a függvényben lecserélhetjük a tagokat 4-re:

max{f(x;y)}=max{4+2xy}, tehát csak 2xy maximumát kell megnéznünk, ennek pedig a számtani-mértani összefüggések alapján tudjuk, hogy x=y esetén van maximuma, tehát x=2 és y=2 esetén. Tehát a maximum {2;2} esetén lesz maximuma, értéke 4+2*2*2=12.

Nem nehéz kitalálni, hogy a függvényre igaz, hogy f(x;y)=f(-x;-y), emiatt a (-2;-2) koordinátájú pontban is maximuma van, értéke ugyanúgy 12 lesz.